Расчет состава низкотемпературной плазмы, страница 3

Для наиболее интересного, с точки зрения задач газовой динамики, диапазона температур 6000 – 20000 K, существенна только первая ионизация, а вторая минимальна, поскольку потенциал второй ионизации значительно (от 2 до 10 раз) превышает первый.

Тогда для однократной ионизации из системы (8.11) остается только одно уравнение:

                                                                                              (8.24).

Поскольку ,  то из (8.24) получаем

            (8.25).

Уравнение состояния для ионизованного газа без учета   есть:

                                  (8.26).

В случае однократного ионизованного газа

                    (8.27),

откуда  и выражение (8.25) можно переписать через давление:

               (8.28).

Отметим, что для расчетов, не требующих высокой точности, вкладом  во внутреннюю энергию ((8.2),(8.3)) можно пренебречь, тогда как в уравнениях (8.10) учет его необходим, поскольку он входит в показатель экспоненты.

Приложение.

Основные термодинамические соотношения в случае однократной ионизации.

 Для практически наиболее интересного диапазона температур до  с большой степенью точности возбуждение атомов и ионов можно не учитывать и считать, что все атомы и ионы находятся в основном состоянии. В этом случае статистическая сумма по состояниям для них может быть заменена статистическими весами основных состояний, то есть  для атома; для иона. Обозначим потенциал ионизации атома через I, тогда удельные на единицу объема величины есть:

Свободная энергия

                    (8.29);

Внутренняя энергия

                                                                         (8.30);

Энтропия

                                           (8.31);

Энтальпия

                                                                        (8.32).

Уравнение Саха

                                                       (8.33),

где [м].

Определим теплоемкости  и . Из (8.32) получим

,  находится путем дифференцирования уравнения (8.33), которое удобно вначале прологарифмировать (левую и правую части), тогда

 откуда  и

                                           (8.34).

Теплоемкость  согласно (8.30) есть

. Определяя производную  аналогичным образом из (8.33), окончательно будем иметь

                                             (8.35).

Отношение удельных теплоемкостей

                                              (8.36).

Отметим, что выражение  известное как адиабата Пуасона в случае реакции ионизации будет справедливо только для полностью ионизованной плазмы ().

Определим адиабатическую скорость звука . Условие постоянства энтропии запишем в виде , причем здесь вместо энтропии , отнесенной к единице объема удобнее взять энтропию , отнесенную к единице массы, очевидно  и, используя выражение для энтропии (8.31), получим выражение для скорости звука

          (8.37),

где  определяется выражением (8.36).

Все формулы (8.29) – (8.37) превращаются в обычные термодинамические соотношения для одноатомного идеального газа, если положить  (газ не ионизован), или  (газ полностью ионизован).