Рассеяние фотона на атоме (Глава 4 учебного пособия)

4. Рассеяние фотона на атоме

Рассмотрим процесс, в котором начальное состояние содержит атом в i-состоянии и падающий фотон с энергией , а конечное — с атомом в j-состоянии и фотоном с энергией  [4].

Процесс (а) (рис. 2) включает поглощение падающего кванта, и затем испускание конечного. В промежуточном состоянии квантов нет, атом же находится в промежуточном (виртуальном) состоянии s с энергией . В другом способе (б) атом сначала испускает конечный квант, а затем поглощает начальный. Промежуточное состояние включает атом и два кванта и имеет энергию

Эксперименты показывают, что при облучении среды наблюдается рассеяние света, длина которого содержит различные компоненты:

а) совпадающие с длиной волны падающего света (релеевское рассеяние на атомах) и ;

б) отличающиеся от падающего на величину энергии кванта, характеризующего переходы в атоме

Различают две компоненты рассеянного излучения: стоксову  и антистоксову

Вероятность процесса

                         (4.1)

где  – плотность конечных состояний

Матричный элемент процесса определяется вторым порядком теории возмущений [1, 2, 4]:

                                         (4.2)

Для оценки матричных элементов используем эффективное дипольное взаимодействие:

 и

Используя координатную зависимость компонент электрического поля (см. раздел 2.2), получим

                                  (4.3)

Подставляя (4.3) в (4.2) и учитывая два возможных канала рассеяния с  и , для матричного элемента получим

    (4.4)

где  и  т.е. - рассеян один фотон.

Для нахождения эффективного сечения рассеяния кванта в элемент телесного угла  нужно вероятность  (4.1) проинтегрировать по энергии  и воспользоваться соотношением

                                     (4.5)

Здесь  – плотность потока налетающих фотонов.

Из (4.5) с учетом (4.1) и (4.4) получим соотношение:

              (4.6)

называемое дисперсионной формулой Крамерса – Гейзенберга.

4.1. Резонансная флуоресценция

При приближении к резонансу  сечение (4.6) неограниченно растет. Как и при рассмотрении поглощения (2.12), необходимо учитывать естественную ширину уровней, т.е. сделать замену . Тогда главный (резонансный) член сечения (4.6) примет вид:

               (4.7)

Здесь суммирование по состояниям системы , имеющим энергию (например, по проекциям момента).

Полное резонансное поперечное сечение  получается из (4.7) посредством интегрирования по телесному углу  (определяемому направлением волнового вектора рассеянного фотона) и суммирования вкладов двух поляризаций

                                        (4.8)

До сих пор при вычислении рассматривалось рассеяние на одном атоме. В этом случае угол между  и поляризацией  имеет некоторое значение, случайным образом определенное в интервале . Для сравнения с экспериментом необходимо учесть, что поток фотонов рассеивается на большом числе атомов и сечение получается усредненное по всем возможным углам . Учитывая, что при равновероятном распределении по углам  среднее значение  равно , получим:

                               (4.9)

Напомним, что , где

                                             (4.10)

вероятность перехода с уровня s на уровень k.

С учетом (4.10) выражение (4.9) может быть записано в виде

        (4.11)

Здесь использовано условие  вблизи резонанса  и

Таким образом, выражение (4.11) описывает полное сечение резонансной флуоресценции с поглощением фотона с энергией , возбуждением атома из состояния i в состояние s, последующим высвечиванием фотона  и переходом атома в состояние j. Полное сечение неупругого рассеяния можно получить из (4.11) суммированием по всем конечным состояниям j, лежащим ниже s.

где  и

4.2. Упругое рассеяние

Рассмотрим случай i = j и  = . Примем также, что атом первоначально находился в основном состоянии. Тогда из (4.11) резонансное сечение

                                 (4.12)

и, в случае точного резонатора , получим

                                               (4.13)

Отметим, что  и, следовательно,  – частный вклад в ширину состояния s. Если s – первое возбужденное состояние, то  и

Таким образом, удивительные свойства резонансного рассеяния одинаково присущи как упругому, так и неупругому процессам.

Теперь рассмотрим случай упругого рассеяния при энергии начального кванта , много большей энергии первого возбужденного состояния.

Простая оценка полного сечения может быть получена из (4.6) в предположении  и .

Тогда

Точное выражение

                                       (4.14)

 получим, используя (4.9), учитывая влияние всех уровней на рассеяние и применяя правило сумм осцилляторов [1, 2].

Рассмотрим другой предельный случай, когда  много меньше энергии атомных переходов с основного состояния. Оценка сечения получается из (4.6), если предположить, что  и :

                   (4.15)

Точное выражение из (4.6) с суммированием вклада всех состояний может быть получено для атома водорода:

                                  (4.16)

где

Рассмотренный случай описывает рассеяние фотонов оптических частот в газах. В частности, сильное рассеивание голубого цвета, т.е. больших частот, объясняет голубой цвет неба и красный цвет солнца на закате.