Построение доверительного интервала уровня доверия 1-e по исходной выборке объема 50 для параметра нормального распределения

Выборка №24, а=-2, s² =1.1, e =0.04

-1.812	-0.007	-2.091	-3.040	-0.100	-4.143	-1.516	-2.636	-0.661	-1.469
-1.851	-0.871	0.592	-2.884	-1.279	-3.195	-2.697	-3.392	-2.072	-1.877
-3.718	-1.178	-1.504	-3.307	-1.562	-2.144	-0.938	-1.549	-2.586	-1.295
-2.644	-2.518	-2.249	-1.356	-0.265	-2.580	-1.915	-2.782	-1.975	-2.190
-1.582	-2.393	-3.232	-2.710	0.112	-4.730	-2.675	-1.869	-1.830	-1.620

ЗАДАНИЕ №1

Построить доверительный интервал уровня доверия 1-e по исходной выборке объема 50 для параметра нормального распределения:

а) , если  известно,

б) , если  неизвестно,

в) , если  известно,

г) , если  неизвестно.

Пусть  такие статистики, что . Тогда

интервал  называется доверительным интервалом (ДИ) для  уровня .

а)         Если , то  ,

Для оценки  при известной дисперсии воспользуемся статистикой .

Она распределена по стандартному нормальному закону.

. По таблице находим .

  

ДИ .

 = -1.9959

            = 2,053749              = (-2.300520; -1.69127979)

б) Если , то  . 

Для оценки  при неизвестной дисперсии воспользуемся статистикой .

Она имеет распределение Стьюдента с  степенями свободы.

. По таблице находим .

  

 ДИ .

 = -1.9959

 = 1.168098

            = 2.404892              = (-2.363478;-1.628321 )

в) Если , то , где .

Для оценки  при известном среднем воспользуемся статистикой .Она имеет распределение хи-квадрат с  степенями свободы.

    и    . По таблице находим  и .

 

 ДИ .

=1,144753

            = 72.61325

            = 31.66386            = (0.788253;1.807663 )

г) Если , то

Для оценки  при неизвестном  воспользуемся статистикой .Она имеет распределение хи-квадрат с  степенями свободы.

     и    . По таблице находим  и .

ДИ .

 = -1.9959

 = 1.168098

        = 71.40608

        = 30.87076          = (0.801567;1.8540781);

ЗАДАНИЕ №3.

По данным двум выборкам объёма 20 и 30 проверить, с помощью критериев размера , гипотезу:

а) о совпадении дисперсий (критерий Фишера),

б) о совпадении средних, если известно, что неизвестные дисперсии совпадают (критерий Стьюдента).

a) Критерий Фишера.         

Проверяется гипотеза .

Введем функцию отклонения .

Теорема: Если гипотеза  верна, то случайная величина  имеет распределение Фишера  с n-1, m-1 степенями свободы.

 Критерий Фишера:

, где  – квантиль распределения Фишера.

 = 1.5133

 = 0.957927

 = 1.579765

 = 2.045852

 1.579765< 2.045852, основная гипотеза принимается, то есть дисперсии  совпадают.

б) Критерий Стьюдента.

Проверяется гипотеза .

Теорема: Случайная величина  имеет распределение Стьюдента  с n+m-2 степенями свободы.

Введем функцию . Из теоремы следует свойство: если  верна, то величинаимеет распределение Стьюдента с n+m-2 степенями свободы.

Критерий Стьюдента:

, где  – квантиль распределения Стьюдента.

 = -1,85055

 = -2,0928

 = 1.5133

 = 0.957927

 = 0,773260

             = 2.404892

0,773260< 2.404892,основная гипотеза принимается, то есть средние совпадают.

0,446	0,868	0,034	0,568	0,078	0,691	0,591	0,210	0,870	0,025
0,551	0,436	0,074	0,093	0,530	0,603	0,589	0,709	0,005	0,837
0,530	0,603	0,101	0,926	0,359	0,477	0,081	0,681	0,411	0,102

ЗАДАНИЕ №2.

По данной выборке объёма 30 проверить основную гипотезу о равномерности распределения с помощью:

а) критерия Колмогорова,

б) критерия хи-квадрат.

Введём функционал , который измеряет расстояние между эмпирическим и теоретическим распределениями, такой что:

1.По заданному  можно найти такое, что .

2., где  распределение отличное от .

Критерий согласия, основанный на таком функционале, строится следующим образом:

.

Пусть по данной реализации выборки получено число .

Число  называют реально достигнутым уровнем значимости.

И

Критерий Колмогорова.

Выбирается функционал .

Теорема Колмогорова: Если  - истинное распределение выборки , то .

Критерий Колмогорова:

, где  – квантиль уровня  распределения .

0,005	0,005	0,028333
0,025	0,008333	0,041667
0,034	0,032667	0,066
0,074	0,026	0,059333
0,078	0,055333	0,088667
0,081	0,085667	0,119
0,093	0,107	0,140333
0,101	0,132333	0,165667
0,102	0,164667	0,198
0,21	0,09	0,123333
0,359	0,025667	0,007667
0,411	0,044333	0,011
0,436	0,036	0,002667
0,446	0,012667	0,020667
0,477	0,010333	0,023
0,53	0,03	0,003333
0,53	0,003333	0,036667
0,551	0,015667	0,049
0,568	0,032	0,065333
0,589	0,044333	0,077667
0,591	0,075667	0,109
0,603	0,097	0,130333
0,603	0,130333	0,163667
0,681	0,085667	0,119
0,691	0,109	0,142333
0,709	0,124333	0,157667
0,837	0,029667	0,063
0,868	0,032	0,065333
0,87	0,063333	0,096667
0,926	0,040667	0,074
1	0	0

=0.198

=1.084490

=0.740566

=0.518868.

0.518868>0.1, основная гипотеза принимается, то есть распределение равномерное.

Критерий хи-квадрат.

Выбирается функционал ,где

k – число непересекающихся интервалов , покрывающих R,

 - вероятность попадания в эти интервалы для распределения ,

 - число элементов выборки, попавших в интервал .

Теорема Пирсона:Если , то .

Критерий хи-квадрат:

, где c – квантиль уровня  распределения .

	интервалы
1	0-0,2	9	9
2	0,2-0,4	2	16
3	0,4-0,6	10	16
4	0,6-0,8	5	1
5	0,8-1	4	4
			7.666667

=0,104508

0,104508>0.1, основная гипотеза принимается, то есть распределение равномерное.