Параксиальная оптика. Метод матриц

ЛЕКЦИЯ

ПАРАКСИАЛЬНАЯ ОПТИКА. МЕТОД МАТРИЦ

Приближение геометрической оптики λ << всех характерных размеров L. Расходимости – λ/L<<1 – все лучи –  отрезки прямых линий, направление распространения которых может меняться на границе раздела двух сред с различными показателями преломления. Описание лучей – с помощью линейных функций относительно опорных плоскостей (ОП). Для описания луча в матричной оптике используются 2 параметра: высота луча – y и угол наклона к оптической оси z –Θ. Углы считаем малыми, чтобы выполнялись соотношения Θ»SinΘ»tgΘ (Θ<6⁰) .

Если известны параметры высота луча Y₀  и угол наклона его к оптической оси V (угол наклона считаем положительным, если поворот от луча к оптической оси происходит по часовой стрелке)для какой-либо опорной плоскости ОП1, то для однородной среды  можно определить параметры луча в любой другой опорной плоскости ОП2. отстоящей на расстоянии t от ОП1 (опорные плоскости перпендикулярны оптической оси):

                                                                                                                             (1)

В формуле (1) сделана замена, чтобы перейти к приведенным величинам расстояний T=t/n, и углов V= Θn. Тогда конечные величины –  Y₁, V₁ для ОП2 вычисляются через начальные –  Y₀, V₀  (ОП1) с помощь линейного преобразования, выраженного в матричной форме:

                                                                                                                     (2)

Матрица [T], относящаяся к группе унимодулярных матриц с определителем равным 1, называется матрицей перемещения. Для луча, распространяющегося в обратном направлении, угол Θ сохранит свое положительное значение , а T→–T, что достигается соглашением изменять n на –n для луча, распространяющегося в отрицательном направлении.  В итоге  матрица обратного перемещения будет эквивалентна обратной матрице [T]^-1:

                                                                                                                    (3)

Удобство использования приведенных величин T=t/n, и V= Θn прослеживается при рассмотрении прохождения луча через границу раздела двух сред с различными показателями преломления n₀  иn₁. Граница раздела перпендикулярна оптической оси. Тогда на основании закона Снелиуса выполняется соотношение Θ₀n₀= Θ₁n₁ → V=V₁. Считая границу раздела бесконечно тонкой, можно положить в формулах (1) t=0, что дает Y₁=Y₀. В итоге матрица преобразования окажется единичной - [E],  Для многослойной среды матрица преобразования – это произведение матриц каждого слоя:

                                                                                                                    (4)

Из (4) очевидно,  что направление распространения луча, прошедшего через многослойную среду определяется лишь начальным и конечным показателями преломления n₀ и n_N. Преобразование T=t/n также отражает экспериментальный факт кажущегося приближения предметов, находящихся в среде показателем преломления n>1 (например, в воде).

Рассмотрим прохождение луча света через сферическую границу раздела двух сред (радиус кривизны R, центр кривизны считаем лежащим на оптической оси).

Углы j

₁ и j
₂ внешние углы треугольников, образованных падающим лучом, радиусом кривизны поверхности и оптической осью и  продолжением преломленного луча, радиусом кривизны поверхности и оптической осью. На основании свойства внешнего угла треугольника имеем:

                                                                                                                             (5)