Обобщенный закон Ома. Различные формы обобщенного закона Ома

Лекция 5

          Обобщенный закон Ома

Изуравнений (4.28) - (4.30) можно получить соотношение, связывающее плотность тока с другими величинами (обобщенный закон Ома). Прежде чем выводить это соотношение, оценим в этих уравнениях члены, содержащие производные.

          Будем предполагать, что  характерное время задачи много больше времени между столкновениями частиц и что скорость компонент относительно центра масс (диффузионная скорость) мала по сравнению с хаотическими скоростями частиц, принадлежащих данной компоненте. Если Т - характерное время задачи, L - характерный размер и  - характерная скорость , то эти предположения равносильны следующим:

                                                    (5.1)

Здесь  - хаотические скорости ионов, электронов и нейтральных частиц, причем если состояние равновесное (все температуры равны), то

          .

Так как давление пропорционально произведению массовой плотности частиц на средний квадрат хаотической скорости то при условиях (5.1) членами

         

в левых частях уравнений (4.28) и (4.29) можно пренебречь по сравнению с членами в правых частях этих же уравнений.

          Кроме того, в силу уравнения (4.30), при условиях (4.20), (4.23) и (4.27) имеет место соотношение

т.е. членом  в левой части уравнения (4.28) тоже можно пренебречь. Таким образом, при условии (5.1) уравнения (4.28)- (4.30) примут вид

          (5.2)

Введем следующие обозначения:

                                                  (5.3)

          В обозначениях (5.3) при условиях (4.20) и (4.27) уравнения (5.2) примут вид:

                                    (5.4)

                                                              (5.5)

                                                                        (5.6)

Складывая уравнения (5.4) и (5.5) и, исключая из результата  , при помощи (5.6), получим выражение для

                            (5.7)

С помощью уравнения (5.7) исключим   из уравнения (5.4)

                             (5.8)

где .

          Соотношение (5.8) связывает плотность тока с напряженностью электромагнитного поля и параметрами, характеризующими среду и ее движение и его можно рассматривать как обобщенную форму закона Ома для частично ионизованных газов.

          Если скорости хаотического движения велики по сравнению с относительными диффузионными скоростями движения компонент, то время между столкновениями определяются хаотическими скоростями (. Так как в равновесном состоянии электроны и ионы обладают сравнимой кинетической энергией хаотического движения, а длина  свободного пробега иона   меньше длины свободного электрона  , то

         

В силу (4.20) отсюда следует, что

                                                       (5.9)

т.е. электроны между двумя столкновениями с нейтральной частицей проходят значительно больше витков по винтовой траектории, чем ионы. При этом , и соотношение (5.8) упрощается:

                                 (5.10)

В правой части уравнения (5.10) опущены члены, малые в силу (4.20), (4.27) и (5.9). Членами, стоящими в правой части уравнения (5.10) можно пренебречь в силу (4.27), по отношению к соответствующим членам в левой части этого уравнения, если выполняется соотношение

                                                          (5.11)

 может быть больше  благодаря далеким столкновениям между заряженными частицами. Для не очень разреженных газов при умеренных температурах справедливо соотношение (5.11), и обобщенный закон Ома имеет вид

                                 (5.12)

Различные формы обобщенного закона Ома

          Прежде всего, отметим, что для полностью ионизованного газа  . Кроме того, из формулы (4.26) следует, что , т.е. при  величины  стремятся к нулю, и закон Ома принимает вид

          .                                (5.13)

          Если газ частично ионизован, но

          ,                                                                                          (5.14)

то                                    (5.15)

и, следовательно, закон Ома для частично ионизованного газа при условии (5.15) совпадает с законом Ома для полностью ионизованного газа (5.13) с точность до коэффициента при плотности тока.

          Если электромагнитное поле оказывает существенное влияние на движение среды (именно такие задачи представляют наибольший практический интерес), то электромагнитные силы имеют порядок величины сил инерции