Потенциалы плоских и трехмерных полей

Задачи для самостоятельного решения

Найти потенциалы следующих плоских и трехмерных полей:

91. ;     92. ;

93. ;   94. ;

95. ;   96. ;   97. ;

98. ;   99. ;   100. ;

101. ;

102. ;

103..

104. Доказать, что поле вихрей соленоидально: .

105. Доказать, что в соленоидальном поле поток вектора через замкнутую поверхность, не содержащую внутри особых точек, равен нулю.

В задачах 106 – 109 проверить соленоидальность заданных полей:

106. ;   107. ;

108. ;   109. .

110. Доказать, что в соленоидальном поле поток вектора поля через поперечное сечение любой векторной трубки (определенный в одном и том же направлении) сохраняет постоянное значение.

111. Показать, что поле вектора  соленоидально во всякой области, не содержащей начало координат O(0,0,0).

112. Найти условие соленоидальности поля .

113. Показать, что в соленоидальном поле поток вектора  не зависит от вида поверхности (S), натянутой на данный контур (L), а зависит только от самого контура.

114.Показать, что векторное поле  - соленоидальное и безвихревое.

Используя правило применения оператора  к произведениям скалярных и векторных полей, доказать справедливость следующих формул:

115. ;   116. ;

117.;   118.;

119. ;

120. ;

121. .

122. Найти . В каком случае ?

123. Показать, что скалярное поле , , является гармоническим .

В задачах 124 – 131 выяснить, какие поля – гармонические, какие – нет:

124.    125.    126.

127.    128.

129.

130.

131.

132. Найти все гармонические поля, зависящие только от x.

133. Найти общий вид однородного гармонического многочлена второй степени от x и y.

134. Найти все решения уравнения Пуассона , зависящие только от x.

Ответы к задачам главы 15

1.    2.   3.    4..   5.   6.    

7..   8.    9.

10.    11.

12.    13. .   14.

15.    16.    17.    18.    19.    20.0.   21.    22. 0,25.   23.    24.    25.    26.    27.    28.

29.    30.    31.    32.    33.    34.    35.0.

36.    37. а) 2/3; б) 0,7; в) 0,7; г)1; д) 1. 38.    39.    40.

41.    42.    43.    44.    45.    46. –14.   47.    48.  49.    50.    51. 4/3.   52.    53. .   54.

55.    56. 0.   57. 0.   58.    59. 0.   60. 1.   61.    62.    63.

64. 0.   65.    66.    67.   68.    69.    70.    71.-1.   72.   73.    74.    81.     82.    83.   84.    85.   86.    87.   88. 0.

89.    90.  91.    92.   93.   94. 95.    96.    97.    98. r.  99. lnr.   100. .  101.    102.

103.  112.   C=const.   122.   124. Нет.  125. Нет.  126. Да.  127. Только при A+C=0.  
128. Только, если A+C=B+D=0.  129. Да.  130. Только при   
131. Только если  .
132.    133.  A и B – любые. 

134.