Коэффициенты усиления и поглощения света. Лазеры (Глава 3 учебного пособия)

3. Коэффициенты усиления и поглощения света. Лазеры

3.1. Сечение взаимодействия фотона с атомом

Соотношения (2.11  2.13) служат отправным пунктом для нахождения сечения поглощения и излучения фотона атомной системой [5].

Коэффициент поглощения  (или усиления ), который характеризует вероятность поглощения (или испускания) кванта света на единице длины пути, равен

                                        (3.1)

где  и  – концентрация атомов на верхнем i и нижнем f уровнях атома.

Величины  могут быть найдены из условия термодинамического равновесия излучения и атомов в возбужденном состоянии. Сечение равно отношению вероятности индуцированного излучения в единицу времени, рассчитанной квантовомеханическим методом в п. 2, к классической плотности потока фотонов.

Плотность потока фотонов, приходящаяся на единичный интервал частот , найдем из следующих условий. Энергия электромагнитного поля в объеме V, по классике, равна  С другой стороны, она равно произведению энергии фотона  и среднего их числа с данной частотой , умноженному на число состояний и  – число состояний поляризации, т.е.

Следовательно,

                                                 (3.2)

Используя классическую и квантовую запись вероятности вынужденного излучения

с учетом (3.2), для сечения вынужденного излучения получим

                                           (3.3)

Учитывая (2.13), для сечения поглощения получим

                                        (3.4)

и

                                        (3.5)

Максимум сечения  Если атомы находятся в термодинамическом равновесии, то

      

и коэффициент поглощения равен

Если , что возникает только при нарушении термодинамического равновесия, то система будет усиливать свет, т.е. в среде возможен эффект лазерной генерации. Создание инверсии, т.е. повышенной заселенности верхнего уровня, или условий с “отрицательной” температурой возможно при реализации механизма селективного возбуждения этого уровня.

3.2. Лазеры

Активная среда расположена между двумя плоскими зеркалами с коэффициентами отражения  и , расстоянием между зеркалами L. Такая оптическая система называется резонатором типа Фабри-Перо. В таком резонаторе при малых потерях  возможно установление стационарного поля излучения, практически равномерного вдоль оси и спадающего в зависимости от расстояния от оси по закону , где . Тогда уравнение баланса для плотности фотонов с частотой :

где второе слагаемое в правой части уравнения учитывает потери фотонов за счет ухода из системы а  - вероятность спонтанного излучения фотона внутрь резонатора. Принято . Условие возникновения генерации, т.е. усиления числа фотонов внутри резонатора:

                                        (3.9)

В этом случае число фотонов нарастает, увеличивается роль вынужденного излучения, что приводит к изменению заселенности энергетических состояний i и f, т.е. величины  и  изменяются:

                      (3.10)

Здесь  и  – скорости возбуждения атомов на i и f уровнях,  – времена жизни, определяемые как собственным временем жизни, так и столкновениями,  – полная частота переходов с i на f уровень, в результате столкновений и спонтанного излучения. Усиление света максимально в центре линии. Поэтому формируемая в резонаторе волна одной моды имеет спектральную ширину много меньше ширины линии перехода. Учитывая данное обстоятельство, излучение лазера можно считать монохроматическим с плотностью фотонов , усиливаемых в центре линии, т.е.

Пренебрегая  и решая систему (3.10), для стационарного режима получим

                            (3.11)

где

Как видно, под действием поля излучения инверсия заселенности уровней снижается, так что коэффициент усиления k в действующем лазере меньше коэффициента усиления  в отсутствии поля излучения:

                                             (3.12)

Здесь принято, что .

Рассмотрим нестационарные процессы в лазере. Для простоты анализа положим ,  и , что позволяет решить задачу (3.10) для разности заселенности

                               (3.13)

где

Предположим, что в начальный момент система имела возбужденные атомы, однако плотность фотонов определялась только спонтанным излучением (режим модулированной добротности). Практически это может быть достигнуто введением в резонатор сильного поглощения, т.е.  велико . Если очень быстро уменьшить поглощение, то начнётся развитие генерации. При этом начальное значение  и  – мало, так что усиление числа фотонов описывается уравнением:

                                  (3.14)

где  – коэффициент усиления света на единицу длины. Плотность фотонов, при которой начинается изменение , равна

                                (3.15)

Если эта плотность достигается за время прохода фотона от одного зеркала до другого  то такой режим работы называется суперлюминесцентным, т.е. высокий уровень мощности света

достигается в отсутствии зеркал и может быть реализован, учитывая (3.14), при большом коэффициенте усиления .

Второй предельный случай малого  требует большего числа проходов света между зеркалами для достижения предельной плотности фотонов:

,   ,                             (3.16)

где

Установившиеся плотности фотонов и определяются из системы уравнений:

                                       (3.17)

Откуда

                                 (3.18)

Мощность излучения через единицу площади одного зеркала с пропусканием  равна , а условия на  соответствуют равенству усиления потерям. Учет релаксационных потерь приводит к оценке мощности:

                                       (3.19)

где  и

Коэффициент полезного действия лазера равен:

                                        (3.20)

и отличается от “квантового”, т.е. идеального