Диспергирующие элементы спектральных приборов. Дифракционная решетка, страница 3

Здесь W=(N-1)D – длина решетки. При большом числе штрихов (N>>1) единицей в (14) можно пренебречь и формулу для разрешающей силы ДР обычно приводят в виде R=mN. Хотя очевидно, что решетка к одним штрихом не обладает свойством разлагать излучение в спектр (нет даже двух интерферирующих лучей).  Разрешающая сила решетки пропорциональна полному числу штрихов и порядку интерференции (дифракции)

Область свободной дисперсии определим как участок спектра, в котором каждая спектральная составляющая дифрагирует на свой уникальный угол. На границах этой области спектра перекрываются спектральные компоненты с различными длинами волн и различными порядками дифракции:

                                                                                                                              (15)

Видно, что область свободной  дисперсии уменьшается с ростом порядка дифракции. Максимальная область свободной  дисперсии достигается в 1-ом порядке. Можно определить область свободной  дисперсии как спектральный интервал между главными максимумами функции J_N.:

                                                                                                                             (16)

Формулы упрощаются при автоколлимационной установке j=y. Область дисперсии можно увеличить при установке ДР, когда углы падения и дифракции близки и имеют разные знаки (вблизи угла блеска когда мала разрешающая способность).

ДР имеет «красную границу» - предельную длину волны, которая еще способна дифрагировать на ДР в силу того что максимальное значение синусов и косинусов не превышает единицу:

                                                                                                                              (17)

Реальную решетку с заданной формой штриха будем моделировать треугольной структурой. для окончательного вычисления распределения интенсивности нужно проинтегрировать (6) вдоль штриха. Разобьем этот интеграл на две части I₀ (от 0 до y₀) и I₁ (от y₀ до D):

                                                                                                                             (18)

  В формуле (18) l₀ – это длина наклонной части штриха. Аналогично вычислим интеграл I₁:

                                                                                                                             (19)

Результирующее значение интенсивности можно получить после вычисления квадрата модуля   I₀+I₁.:

                                                                                                                             (20)

Рассмотрим каждое из слагаемых в (20):

                                                                                                                             (21)

Параметры P=0 и Q=0 в формулах (20) и (21) определяют направления на дифракционные максимумы, которые, как нетрудно убедиться, совпадают с направлениями  зеркального отражения от соответствующего штриха:

                                                                                                                             (22)

Подбирая наклон штрихов ДР можно совместить направление на главный дифракционный максимум нужного порядка функции J_N с направлением на дифракционный максимум, определяемым каким либо слагаемым (21). Обычно используются первое или второе слагаемое. Нетрудно понять, что для простой непрофилированной дифракционной решетки направление на главный максимум совпадает с направлением на нулевой ахроматический порядок. При этом в первом порядке будет около 25% излучения в лучшем случае. Поэтому понятна выгода в использовании профилированных решеток – эшелетов.

Наличие зависимости от угла Q^/  в формуле для угловой дисперсии ДР приводит различию в отклонении  лучей идущих под разными углами от разных точек входной щели по вертикали. В результате происходит искривление изображений спектральных линий:

                                                                                                                              (23)

Выпуклость изображения линии направлена в сторону более коротких длин волн (в призменных приборах наоборот).