1)Если ряд (6.1) –
знакочередующийся, то остаток D имеет знак своего первого члена 
и 
.
2) Если ряд (6.1) – знакоположительный, то остаток D оценивают либо с помощью остаточного члена формулы Тейлора, либо пытаются найти легко суммируемый тоже знакоположительный ряд, члены которого были бы больше членов интересующего нас остатка и оценивают остаток ряда (6.1) суммой найденного ряда.
Обычно ищут десятичное приближение числа S, в то время как члены ряда
могут и не быть десятичными дробями. При обращении их в десятичную дробь возникает новая погрешность, которую тоже нужно учесть.
Пример. Какова величина допущенной ошибки,
если приближенно положить 
?
Ñ Ошибка будет суммой знакоположительного ряда
. (6.2)
а) Оценим эту ошибку, заменив члены ряда (6.2) членами геометрической прогрессии, которые будут больше членов ряда (6.2)
.
б) оценим эту же ошибку с помощью остаточного члена формулы Маклорена
. В
нашем случае 
. #
Пример. Вычислить 
с
точностью до 0,001 (предполагаем, что 
).
Ñ 
.
Проинтегрируем полученное разложение на [0, 2]:
(6.3)
Получили знакочередующийся ряд. Если
для вычисления интеграла взять 4 члена ряда
(6.3), то ошибка 
, которая получается за счет
отбрасывания членов ряда, начиная с пятого, не будет превосходить первого из
отброшенных членов, т.е. 
. Вычисления нужно
вести с 4 знаками после запятой, тогда ошибка 
,
которая получается при обращении II, III, и IV членов ряда (6.3) в десятичные дроби будет меньше 
.
Общая ошибка 
. 
.
Результат округлен до III
знака после запятой. #
Пример. Найти общее решение
дифференциального уравнения 
в виде степенного
ряда.
Ñ Т.к. x = 0 не является особой точкой для данного дифференциального уравнения, то решение его можно искать в виде ряда
(6.4)
Продифференцируем ряд (6.4) дважды:
.
(6.5)
Подставим в уравнение вместо 
и 
соответственно
ряды (6.4) и (6.5):
или
.
Приравнивая коэффициенты
при всех степенях x
к нулю, получим: 
.
, 
и т.д.
#
Пример. Применяя метод последовательных дифференцирований, найти 5 членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения
при
начальных условиях 
.
Ñ Точка x = 0 не является особой точкой данного дифференциального уравнения, поэтому решение можно искать в виде:
(6.6)
(разложение в окрестности x = 0!). Здесь .
Из уравнения 
.
Из уравнения 
,
,
.
Подставим в (6.6) 
: 
или 
#
Задачи для самостоятельного решения
57. Вычислить приближенное значение 
, взяв 3 члена разложения в ряд Маклорена
функции
, оценить погрешность.
58. Вычислить приближенное значение 
, взяв 3 члена разложения в ряд Маклорена
функции 
, оценить погрешность.
Вычислить приближенно с указанной степенью точности D.
59. 
60.
61. 
62. 
63. 
. 64. 
Следующие интегралы вычислить с точностью до 0,001.
65. 
66.
. 67. 
68.
.
69. Вычислить приближенно 
, взяв
3 первых члена разложения подынтегральной функции в ряд. Оценить погрешность.
70. Найти 6 первых членов разложения в степенной ряд
решения дифференциального уравнения 
, удовлетворяющего
начальным условиям:
.
71. Записать в виде степенного ряда частное решение
дифференциального уравнения 
.
Записать в виде степенного ряда общее решение дифференциального уравнения.
72. 
(шесть
первых членов)
73. 
.
74. 
.
75. Найти 3 члена разложения в ряд частного решения уравнения
1.[-1; 1] 2. (-1; 1) 3.
4. (-2;2) 5.
6. 
7. 
8. {0} 9. 
10. 
11.
12.
13.[-6;-4]14.
15.
16.
17. 
18. 
19. 
25. 
26. 
27. 
28. 
. 29. 
30.
31. a) 
б) 
33.
34. 
35.
36. 
37. 
38.
39. 
40.
41. 
42. 
43.
44. 
45.
46. 
47. 
48.
49. 
50. 
51.
52. 
, 
53.
54. 
55.
56. 
57. 1,39, D=0,01 58. 0,3090, D=0,0001 59. 0,3679 60.
0,9848 61. 4,309 62. 3,079 63. 1,609 64.
3,14159 65. 0,245 66. 0,508
67. 0,481 68. 2,835 69. 0,3230, D=0,0001
70. 
71. 
72. 
73. 
74. 
75. 
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.