Вычисление двойного интеграла, S-множества точек, удовлетворяющих неравенству

Пример 7. Записать в полярной системе координат область S - часть круга, ограниченную линиями , ,  (), - постоянные, .

Ñ Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1)Þ ;

2) Þ, ;

3)Þ.

     Область  переходит в область

       .

Рис. 14.9

 

Рис.14.9

В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств:  . #

Пример 8. Вычислить двойной интеграл , S - множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Рис.14.10

Ñ Границей области является линия  или  - окружность радиуса 2 с центром в точке
                                          (рис. 14.10).

Наличие в уравнении границы комбинации  наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам  по формулам , , . Уравнение границы   переходит в уравнение  или . Отсюда r=0 (соответствует полюсу O) и - уравнение окружности. Так как всегда  (по смыслу r), то из  следует , отсюда получаем  (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть  . Тогда по формуле (2.7)

. #

          Пример 9. Вычислить , где  .

Ñ Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями a и b,  – эллипс с полуосями  и , y=0 – прямая (ось Ox),  – прямая (рис. 14.11).

Рис.14.11

Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к эллиптическим полярным координатам по формулам (2.8), (2.9): , . Уравнения границы области в координатах  будут: 1),  2)   , 3) ,
 4) . Итак, область интегрирования  в координатах  есть

. Тогда 

. #

Задачи для самостоятельного решения

Перейти в двойном интеграле  к полярным координатам  и расставить пределы интегрирования в порядке: внешнее – по j, внутреннее - по r:

27. D – область, ограниченная окружностями ,   и прямыми , .

28. D - область, являющаяся общей частью двух кругов  и .

29. D - меньший из двух сегментов, на которые прямая  рассекает круг .

30. D - внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли .

31. D:.

32. D: .Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

33. D - область, ограниченная линией . Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

34. .         35. .     36. .

С помощью перехода к полярным координатам вычислить интегралы:

37. .          38. .

39. .    40. , D - часть кольца ,

, .  41. .

Вычислить, перейдя к эллиптическим полярным координатам, интегралы:

42. .

43. - область, ограниченная линией .

14.3.    Тройные интегралы.

14.3.1. Области в пространстве.

          Определение. Область  назовем правильной в направлении Oz (правильной в направлении Ox, правильной в направлении Oy), если прямая, проходящая через внутреннюю точку области V параллельно оси Oz (параллельно оси Ox, параллельно оси Oy) пересекает границу области ровно в двух точках.

          Область V будет правильной в направлении Oz, если существуют функции  и , заданные  в S  и такие, что координаты точек, принадлежащих V, удовлетворяют условиям: . Тогда символически записывают:

                                                                        (3.1)

Если, в свою очередь, область S - правильная в направлении Oy, то (см.(2.1))

                               .        (3.2)

Если область S правильная в направлении Ox, то (см.(2.2))

                           .          (3.3)

Задания.

1.  Записать символически правильную в направлении Oy область , если ее проекция на плоскость Oxz, в свою очередь, есть правильная область.

2.  Записать символически правильную в направлении Ox область , если ее проекция на плоскость Oyzесть правильная область.

          Пример 10. Область V ограничена поверхностями  и z=0. Изобразить область и записать как правильную: а) в направлении Oz,

б) в направлении Ox.

Рис.14.13

Рис.14.12

Ñ Область V - круговой конус с боковой поверхностью, описываемой уравнением конической поверхности , основанием, лежащим на плоскости z=0, с вершиной в точке M(0;0;2) и осью, совпадающей с Oz (рис. 14.12).Область V - правильная во всех направлениях Ox, Oy, Oz. При z=0 из уравнения  имеем - уравнение окружности радиуса 2; таким образом, в основании конуса круг. а) Рассмотрим область V как правильную в направлении Oz. Из уравнения   имеем . Для точек области V имеем: . Проекция области V на плоскость Oxy есть  (рис. 14.13), поэтому в силу (3.1)  ,где .Так как S - правильная область, то (см.(2.1))   или (см.(2.2)) . Поэтому требуемая запись будет (см. (3.2))   или (см. (3.3))   .

б) Рассматривая область V как правильную в направлении Ox, из уравнения  имеем . Линии пересечения плоскости Oyz и конической поверхности находятся из решения системы уравнений:  ; в результате имеем - прямые в плоскости Oyz. Итак, проекцией V на плоскость Oyz является область D - треугольник со сторонами z=y+2,  z= –y+2, z=0  (рис. 14.14), поэтому в силу (3.1)  , где .

2

          Так как область D – правильная, то рассматривая ее как правильную в направлении Oy, имеем  ,  а потому

Рис.14.14

       #

Задачи для самостоятельного решения

Изобразить указанные ниже области и записать как правильные: а) в направлении Oz, б) в направлении Ox.

44. Область Vограничена поверхностями .

45. Область Vограничена поверхностями .

46. Область Vограничена поверхностями .