Аналитические функции. Условия Коши-Римана

Определение 2. Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и .

Определение 3. Функция , непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в этой области.

Задачи для самостоятельного решения

17. Изобразить множества; выяснить, какие из них являются областями, какие нет, какие из них - ограниченные области, какие не ограничены:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ; ;

д) .

18. Написать в комплексной форме уравнение следующих линий  (t- действительный параметр):

а) ,  ;   б) , ;   в) ; г) ;

 д) .

19. Какие линии заданы комплексным уравнением (t-действительный параметр):

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;  д)?

20. Для указанных функций найти действительную и мнимую части:

а) ;  б) ;  в) ;  г);   д);  е).

21. Найти образы данных точек при указанных отображениях: а) , ;  б) , ;     в), ;    г) , .

22. На какие линии плоскости (w) отображает функция  следующие линии плоскости (z): а) прямую ; б) прямую ; в)гиперболу ;   г)окружность ?

23. Найти уравнение линий плоскости (w), на которые функция  отображает следующие линии плоскости (z): а) ;  б) ; в); 
г) ;  д) ;  е) .

24. Выделить действительную и мнимую части у следующих функций:

а) ; б) ;  в) ;  г) ; д) ;  е) ; 
ж) .

25. Записать комплексные числа в показательной форме: а) 1; б) i; в) 1+i; г);    д).

26. Вычислить: а);   б);   в);   г) .

27. Записать в алгебраической форме : а);   б);  в);   ;   г);  д);    е).

28. Вычислить: а);  б);  в);  г);  д).

29. Найти: а);  б);   в);  г);   д);  е);   ж).

Решить уравнения:

30. .   31..   32..   33..   34. .   34..   36..   37. а);  б).

Вычислить пределы:

38..   39..   40..   41..      42..

Доказать непрерывность на всей комплексной плоскости следующих функций:

43. .   44..   45..   46..

Как доопределить данные функции в точке , чтобы они стали непрерывными в этой точке:

47..   48..   49..   50..

51. Доказать, что функция  не имеет предела при .

Указание. Положить , так что .

16.3.    Аналитические функции. Условия Коши-Римана

16.3.1. Дифференцирование ФКП. Аналитичность функции

Определение 1. Функция  называется дифференцируемой в точке , если существует предел

                            .                                  (3.1)

Этот предел называется производной функции  в точке z.  Для нее употребляются обозначения .

          Теорема. Для того, чтобы функция  была дифференцируемой в точке z, необходимо и достаточно, чтобы функции ,  были дифференцируемы в этой точке и выполнялись условия Коши-Римана (говорят также Даламбера-Эйлера):

                                                     ;   .                                            (3.2)

Определение 2. Функция  называется аналитической (регулярной) в данной точке , если она дифференцируема как в самой точке z, так и в некоторой ее окрестности.

Определение 3. Функция  называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Для любой аналитической функции   имеем

                   .                    (3.3)

Заметим, что формулы дифференцирования ФКП аналогичны соответствующим формулам дифференцирования функций действительной переменной.