Определение зависимости силы тока в колебательном контуре от частоты вы­нуждающей ЭДС

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: определение зависимости силы тока в колебательном контуре от частоты вы­нуждающей ЭДС. Построение резонансных кривых.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ.

Рассмотрим процессы, протекающие в колебательном контуре (рис. 1), при­соединенном к внешнему источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническо­му закону

e(t) = e₀coswt

Обозначим через U напряжение на конденсаторе, а через I – ток в контуре. Согласно второму правилу Кирхгофа сумма напряжений на элементах цепи равна алгебраической сумме ЭДС в контуре:

IR + U = e₀coswt + e_S   (2.1)

где e_S = -LdI/dt – ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке с индуктив­ностью L при прохождении в ней пере­менного тока.

Уравнение (2.1) можно записать в виде

IR + U + LdI/dt = e₀coswt   (2.2)

Выразим напряжение в конденсаторе через ток:

U = q/C = (1/C) ∫Idt

Здесь q – заряд на конденсаторе.

Подставляя в (2.2) найденное значение напряжения, получим:

IR + (1/C) ∫Idt + LdI/dt = e₀coswt

Продифференцируем это выражение по t:

	(2.3)

 

Далее будем использовать обозначения, введенные в лабораторной работе №24. Тогда (2.3) примет вид:

	(2.4)

 

Полученное уравнение является линейным неоднородным (b = const, w₀ = const) дифференциальным уравнением второго порядка.

Уравнения типа (2.4) описывают поведение широкого класса колебательных систем (электрических, механических и т.п.) под влиянием внешнего гармониче­ского воздействия.

Через некоторое время после включения гармонически изменяющейся ЭДС (t >> 1/b), которое потребуется для полного затухания собственных колебаний, в ко­лебательном контуре устанавливается переменный ток с частотой, равной частоте вынуждающей ЭДС.

Установившиеся колебаний в контуре, независимые от начальных условий, оп­ределяются частным решением уравнения (2.4), которое имеет вид

I = I₀*cos(wt - j)   (2.5)

Здесь I₀ – амплитудное значение силы тока,

j - угол сдвига фаз между внеш­ней ЭДС и током в цепи.

Подставив (2.5) в (2.4) найдем значения I₀ и j:

	(2.6)
			(2.7)

 

где

	(2.8)

 

Формула (2.6), показывающая зависимость амплитуды I₀ переменного тока в колебательном контуре от амплитуды e₀ вынуждающей ЭДС, аналогична закону Ома для замкнутой цепи постоянного тока. Поэтому величина z называется полным сопротивлением электрической цепи переменного тока (колебательного контура). Оно складывается из активного (омического) сопротивления R, индуктивного со­противления wL и емкостного сопротивления 1/wC. Как видно из (2.6) амплитуда силы тока в контуре достигает максимального значения при минимальном значе­нии z, т.е. при [wL – 1/wC]² = 0. При этом полное сопротивление контура мини­мально и равно его активному сопротивлению. В этом случае j = 0, т.е. сила тока совпадает по фазе с вынуждающей ЭДС и равна

I_max = e₀/R   (2.9)

При постоянных значениях L, С независимо от величины активного сопро­тивления контура, амплитуда силы тока достигает максимального значения при одном и том же значении w - циклической частоты вынуждающей ЭДС, называе­мой резонансной, равной

w_рез = 1/ÖLC = w₀   (2.10)

где w₀ - собственная циклическая частота колебательного контура (см. лабо­раторную работу № 6).

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при прибли­жении частоты вынуждающей ЭДС к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательного контура называется резонансом.

Графическая зависимость амплитуды тока от частоты вынуждающей ЭДС на­зывается резонансной кривой. Чем мень­ше активное сопротивление контура, тем больше амплитуда силы тока при резо­нансе и ярче выражена резонансная кри­вая.

Добротностью контура Q при w_рез >> b называют соотношение