Розв’язання нелінійного рівняння sin(x+π/3)-0,5x=0 з точністю 0.0001 за допомогою методу Ньютона

Лабораторна робота №1

Розв’язати нелінійне рівняння sin(x+-0,5x=0 з точністю :

• Виділити корені графічно і аналітично.
• Розв’язати за допомогою методу простої ітерації або методу Ньютона.

Знайдемо розв’язок рівняння за допомогою методу Ньютона

Рівняння

sin(x+-0,5x=0

має корінь на відрізку [1..2], тому що f(1)=0,38865>0, a f(2)=-0,90575<0.

Так як  - визначена і двічі диференційована на [1..2] , причому похідні  зберігають знак на [1..2] ( , збереження знаків похідних видно на графіку 1 і 2 відповідно)

графік 1 (перша похідна)

графік 2 (друга похідна)

Тоді , виходячи з початкового наближення  що задовольняє нерівність  ітераційна послідовність

 звідки ,  

Вибираємо початкове наближення кореня  так, щоб  Вибираємо , тому що (  )

Ітерації будемо віконувати в середовищі програмування Borland Pascal:

Program chm1;

uses WinCRT;

var x, xx : real;

n : integer;

const e=0.0001;

begin

n := 0; xx:=2;

while (abs(xx-x)>e) do

begin

   x := xx;

   xx := x-((sin(x+pi/3)-0.5*x)/(cos(x+pi/3)-0.5));

   n := n+1;

   writeln ('pri n=',n,' ',((xx+x)/2):9:8);

   end;

readln;

end.

Корінь х=1.35204424 отриманий на 4-й ітерації:

Перевіримо результати обчислень, побудувавши графік в Mathcad:

Розв’язок даного рівняння в Mathcad: