Розв’язання задач на пошук сталої, математичного сподівання, ймовірності та їх відношення, страница 2

В цьому виразі другий доданок дорівнює 2n, третій доданок дорівнює n, тому:

Приймемо для очікуваних ймовірностей, що pі = vi/ n та рj - = uj/n, тоді після перетворень, запишемо:

За умови, що гіпотеза Н0 вірна, статистика має розподіл χ2  з (k-1)(l-1) ступенями вільності. Параметри к і l дорівнюють к = 3 і l = 2, так що повна кількість ступенів вільності становить:

v=(к-1)(1-1)= 2.

Користуючись формулою, знайдемо:

Для перевірки гіпотези порівняємо знайдене значення з критичним, знайдемо критичне значення  за формулою

За таблицею квантилів  χ2 - розподілу знаходимо:

При α=0,1, ;

При α=0,05, .

Оскільки  , то при даному рівні значущості Н0 приймається, з формулюванням, що експерементні дані не суперечать гіпотезі. Отже, потрібно вважати, що результат дії ліків не залежить від способу їх застосування.

Відповідь

Результат дії ліків не залежить від способу їх застосування.


Задача 4

Нижче наводиться час (в секундах) розв'язання контрольних задач учнями до i після спеціальних вправ по усному рахунку.

До вправ

87

61

98

90

74

83

72

81

75

83

85

Після вправ

50

45

79

88

65

52

79

84

61

52

85

Чи можна вважати, що ці вправи поліпшили здатність учнів в розв’язанні задач? Прийняти =0,10 та =0,05.

Розв’язання

Час необхідний для розв’язання завдань до і після вправ вважаємо випадковою величиною розподіленою за нормальним законом

 n1=n2 = 11при цьому невідомі, а хоч і невідомі але вважається що вони рівні.

          Згідно з умовою нам необхідно перевірити нульову гіпотезу

{H0 : a1 = a2 } – середній час вирішення завдань до і після вправ є рівним,

{H1 : a1 < a2 } – середній час вирішення завдань покращився, тобто зменшився.

          Так як об’єм вибірки малий то для перевірки нульової гіпотези застосуємо правосторонній t-критерій. Для цього проведемо додаткові обчислення:

i

xi

(xi-xs)2

yi

(yi-ys)2

1

87

38,21488

50

298,3471

2

61

392,7603

45

496,0744

3

98

295,2149

79

137,5289

4

90

84,30579

88

429,6198

5

74

46,4876

65

5,165289

6

83

4,760331

52

233,2562

7

72

77,76033

79

137,5289

8

81

0,033058

84

279,8017

9

75

33,85124

61

39,34711

10

83

4,760331

52

233,2562

11

85

17,4876

85

314,2562

Сума

889

995,6364

740

2604,182

Середнє

80,81818

90,5124

67,27273

236,7438

З даних наведених у таблиці витікає s12=90,5124, s12=236,7438.

Число степенів свободи v=20. За таблицею квантилей розподілу Ст’юдента знаходимо , .

Так як 2.086 < 3.2418  та 1.7247< 3.2418 ми відкидаємо нульову гіпотезу в обох випадках. Це означає що різниця середніх є статистично значущою.

Відповідь

Вправи покращили здатність учнів розв’язувати задачі


Задача 5

Обсяг продуктів (Y) за 1990–1997 рр. (X)  наведені в наступній таблиці:

    X

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

Y в % к 1950 р.

100

116

122

134

144

165

180

219

Вважаючи, що залежність Y від X лінійна, ,  знайти параметри a та b за методом найменших квадратів. Вважаючи також, що залежність X від Y лінійна, , знайти параметри c та d за методом найменших квадратів. Виявити зв’язок між знайденими коефіцієнтами. Результати оформити графічно.

Розв’язання

При нанесенні експериментальних даних у вигляді точок у декартовій системі координат отримуємо кореляційне поле. Якщо є підстави вважати, що двовимірна випадкова величина (X,У) розподілена згідно з нормальним законом або якщо точки на кореляційному полі групуються навколо прямої лінії, то емпіричне рівняння регресії підбирається у вигляді

y=ax+b.

Наступна задача - знаходження коефіцієнтів (параметрів) a і b лінійних емпіричних функцій регресії Y на X. Шукатимемо ці параметри методом найменших квадратів, тобто прагнемо виконання умови мінімуму нев’язки:

Оскільки функціонал нев'язки S в просторі параметрів a та b досягає мінімуму, то для визначення координат цього екстремуму маємо знайти часткові похідні ∂S/∂a, ∂S/∂b і прирівняти їх до нуля:

∂S/∂a=0;

∂S/∂b=0;

Отримуємо систему з двох лінійних рівнянь (тобто систему нормальних рівнянь):

Розв'язуючи систему, знаходимо шукані коефіцієнти a та b. Якщо потрібно за експериментальними даними  розв'язати лінійне рівняння регресії X на Y вигляду:

x = cy+d,

то його коефіцієнти (параметри) c та d знаходять з розв'язку системи нормальних рівнянь:


Регресія y = ax+b:

;

 ;

;

;

;

Рис. 3 - Графік рівняння регресії Х на Y


Регресія x = cy+d

;

 ;

;

;

;

Рис. 4 - Графік рівняння регресії Y на X