В цьому виразі другий доданок дорівнює 2n, третій доданок дорівнює n, тому:
Приймемо для очікуваних ймовірностей, що pі = vi/ n та рj - = uj/n, тоді після перетворень, запишемо:
За умови, що гіпотеза Н0 вірна, статистика має розподіл χ2 з (k-1)(l-1) ступенями вільності. Параметри к і l дорівнюють к = 3 і l = 2, так що повна кількість ступенів вільності становить:
v=(к-1)(1-1)= 2.
Користуючись формулою, знайдемо:
Для перевірки гіпотези порівняємо знайдене значення з критичним, знайдемо критичне значення за формулою
За таблицею квантилів χ2 - розподілу знаходимо:
При α=0,1, ;
При α=0,05, .
Оскільки , то при даному рівні значущості Н0 приймається, з формулюванням, що експерементні дані не суперечать гіпотезі. Отже, потрібно вважати, що результат дії ліків не залежить від способу їх застосування.
Результат дії ліків не залежить від способу їх застосування.
Нижче наводиться час (в секундах) розв'язання контрольних задач учнями до i після спеціальних вправ по усному рахунку.
До вправ |
87 |
61 |
98 |
90 |
74 |
83 |
72 |
81 |
75 |
83 |
85 |
Після вправ |
50 |
45 |
79 |
88 |
65 |
52 |
79 |
84 |
61 |
52 |
85 |
Чи можна вважати, що ці вправи поліпшили здатність учнів в розв’язанні задач? Прийняти =0,10 та =0,05.
Час необхідний для розв’язання завдань до і після вправ вважаємо випадковою величиною розподіленою за нормальним законом
n1=n2 = 11при цьому невідомі, а хоч і невідомі але вважається що вони рівні.
Згідно з умовою нам необхідно перевірити нульову гіпотезу
{H0 : a1 = a2 } – середній час вирішення завдань до і після вправ є рівним,
{H1 : a1 < a2 } – середній час вирішення завдань покращився, тобто зменшився.
Так як об’єм вибірки малий то для перевірки нульової гіпотези застосуємо правосторонній t-критерій. Для цього проведемо додаткові обчислення:
i |
xi |
(xi-xs)2 |
yi |
(yi-ys)2 |
1 |
87 |
38,21488 |
50 |
298,3471 |
2 |
61 |
392,7603 |
45 |
496,0744 |
3 |
98 |
295,2149 |
79 |
137,5289 |
4 |
90 |
84,30579 |
88 |
429,6198 |
5 |
74 |
46,4876 |
65 |
5,165289 |
6 |
83 |
4,760331 |
52 |
233,2562 |
7 |
72 |
77,76033 |
79 |
137,5289 |
8 |
81 |
0,033058 |
84 |
279,8017 |
9 |
75 |
33,85124 |
61 |
39,34711 |
10 |
83 |
4,760331 |
52 |
233,2562 |
11 |
85 |
17,4876 |
85 |
314,2562 |
Сума |
889 |
995,6364 |
740 |
2604,182 |
Середнє |
80,81818 |
90,5124 |
67,27273 |
236,7438 |
З даних наведених у таблиці витікає s12=90,5124, s12=236,7438.
Число степенів свободи v=20. За таблицею квантилей розподілу Ст’юдента знаходимо , .
Так як 2.086 < 3.2418 та 1.7247< 3.2418 ми відкидаємо нульову гіпотезу в обох випадках. Це означає що різниця середніх є статистично значущою.
Вправи покращили здатність учнів розв’язувати задачі
Обсяг продуктів (Y) за 1990–1997 рр. (X) наведені в наступній таблиці:
X |
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
Y в % к 1950 р. |
100 |
116 |
122 |
134 |
144 |
165 |
180 |
219 |
Вважаючи, що залежність Y від X лінійна, , знайти параметри a та b за методом найменших квадратів. Вважаючи також, що залежність X від Y лінійна, , знайти параметри c та d за методом найменших квадратів. Виявити зв’язок між знайденими коефіцієнтами. Результати оформити графічно.
При нанесенні експериментальних даних у вигляді точок у декартовій системі координат отримуємо кореляційне поле. Якщо є підстави вважати, що двовимірна випадкова величина (X,У) розподілена згідно з нормальним законом або якщо точки на кореляційному полі групуються навколо прямої лінії, то емпіричне рівняння регресії підбирається у вигляді
y=ax+b.
Наступна задача - знаходження коефіцієнтів (параметрів) a і b лінійних емпіричних функцій регресії Y на X. Шукатимемо ці параметри методом найменших квадратів, тобто прагнемо виконання умови мінімуму нев’язки:
Оскільки функціонал нев'язки S в просторі параметрів a та b досягає мінімуму, то для визначення координат цього екстремуму маємо знайти часткові похідні ∂S/∂a, ∂S/∂b і прирівняти їх до нуля:
∂S/∂a=0;
∂S/∂b=0;
Отримуємо систему з двох лінійних рівнянь (тобто систему нормальних рівнянь):
Розв'язуючи систему, знаходимо шукані коефіцієнти a та b. Якщо потрібно за експериментальними даними розв'язати лінійне рівняння регресії X на Y вигляду:
x = cy+d,
то його коефіцієнти (параметри) c та d знаходять з розв'язку системи нормальних рівнянь:
;
;
;
;
;
Рис. 3 - Графік рівняння регресії Х на Y
;
;
;
;
;
Рис. 4 - Графік рівняння регресії Y на X
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.