Побудова моделі з простором станів

За моделями , знайденими за варіантами завдання 2 з таблиці 4, побудувати моделі з простором станів. Перевести систему зі стану Х⁰  у стан Х=0 (таблиця 6) за мінімальну кількість моментів часу.

Вважаємо систему повністю спостережуваною та повністю керованою:

Необхідно знайти  для та .

Для спостережуваних систем розв’язок першого з рівнянь з системи  має вигляд:

При  маємо

Треба знайти  момент часу  такий, що стан системи . Рівняння  перепишемо у вигляді:

Це система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно , де .

Систему  можна записати в матричному вигляді:

Будемо вважати, що в моделі  матриці мають такі розміри: , , .

Система лінійних рівнянь (4) має єдиний розв’язок за умови  для матриці .

Умова повної керованості системою визначається як , що і забезпечить існування одного розв’язку системи (4).

Зробимо заміну , тоді  набуде вигляду

Звідси  

При  маємо . Якщо .

Розглянемо задачу, коли вхід в систему має скалярний характер:

Розглянемо .

За визначенням:

  .  Тобто:

,  

 Оскільки, то, помноживши цю рівність зліва на , отримаємо

.

Керування системою повинно відбуватися за законом .

Стверджується, що керування  переводить будь-який початковий стан  в стан  за  кроків.

Практична реалізація

Дискретна лінійна модель вхід – вихід має вигляд:

Дискретна стаціонарна лінійна детермінована модель із простором станів має вигляд:

Еквівалентна модель із простором станів може бути задана матрицями:

=Fb();

Використовуючи коефіцієнти заданої моделі вхід-вихід, будуємо:

 

 

 

Оскільки :

> with(LinearAlgebra):

> A:=<<0|1|0>,<0|0|1>,<0.101|0.521|0.97>>;

> B:=<0,0,1>;

>

>

> C:=<-0.160|2.889|0.586>;

> R:=<B|A.B|A.A.B>;

> W3:=<1|0|0>;

> W3R:=W3.R;

> X[0]:=<6,6,2>;

> for i from 0 by 1 to 2 do

> U[i]:=-W3.A.A.A.X[i]:

> X[i+1]:=A.X[i]+B.U[i]:

> end;

>

>

>

>