Перевірка на асимптотичну стійкість системи (Лабораторна робота № 5)

Лабораторна робота №5

Сидоренко Олега

ПМ-71

Варіант №11

Перевірити на асимптотичну стійкість системи, отримані в завданні 4,5

Для асимптотичної стійкості системи необхідно і достатньо, щоб модулі всіх власних чисел матриці А були менше одиниці.
Перевіримо чи виконуються умови теореми.

> with(LinearAlgebra):

>  A:=Matrix([[0, 1, 0],[ 0, 0, 1],[8.38, 6.167, 7.022]]);

>

> Xa:=CharacteristicPolynomial(A,lambda);

> Specter:= solve ({Xa});

Умова теореми не виконується, так як одне з власних чисел більше одиниці, це означає, що система не є асимптотично стійкою.

Завдання 3,1:

Промоделювати на ЕОМ роботу двигуна постійного струму, яка описується рівнянням

де ,

,         ,         .

Тут константа k=3; . Початковий стан нашої системи визначається вектором .

          Часовий інтервал визначення станів системи [0,20]. Результат треба видавати з кроком  .
Розв’язання:

Спочатку розв’язуємо систему диференціальних рівнянь в загальному випадку, а потім на інтервалі [0,20], з кроком .
> restart:

A:=Matrix(3,3):

A:=Matrix([[0,1,0],[0,-0.5,0.2],[0,-1,-1.5]]);

B:=Matrix(3,1):

B:=Matrix([[0],[0],[3]]);

P:=Matrix([[-1.1,-1.1,0]]);

X:=Matrix([[x1(t)],[x2(t)],[x3(t)]]);

D_:=Matrix(A.X+B.(P.X));

sys:=diff(x1(t),t)=D_[1,1],diff(x2(t),t)=D_[2,1],diff(x3(t),t)=D_[3,1];

fcns:={x1(t),x2(t),x3(t)}:

sys;

ds:=evalf(dsolve({sys,x1(0)=5,x2(0)=0,x3(0)=0},fcns));

for t from 0 by 0.8 to 20 do

evalf(ds);

end do:

> xx3:=(-12.25253053*cos(.6326933805*tt)-14.28494512*sin(.6326933805*tt))*exp(-.4636607171*tt)+12.25253059*exp(-1.072678566*tt);

xx2:=-4.279025380*exp(-1.072678566*tt)-4.11890325*exp(-.4636607171*tt)*sin(.6326933804*tt)+4.279025380*exp(-.4636607171*tt)*cos(.6326933804*tt);

xx1:=7.504011757*exp(-.4636607171*tt)*sin(.6326933804*tt)+3.989103088*exp(-1.072678566*tt)+1.010896906*exp(-.4636607171*tt)*cos(.6326933804*tt);

> plot([xx1,xx2,xx3],tt=0..20,color=[blue,orange,black],legend=["x1(t)","x2(t)","x3(t)"]);