Необходимые условия экстремума для функционала в задаче Лагранжа

3. Необходимые условия экстремума для функционала в задаче Лагранжа.

Прежде чем сформулировать необходимые условия в задаче (4.1) — (4.3), предположим, что уравнения (4.3), т.е. g_j(x,y,y’)=0,j=1..k, k>n входящие в условия связи, независимы, т.е.

Введем в рассмотрение функциюF(x,y,y’ ,λ(x))=f(x,y,y’)+. Эта функция называется функцией Лагранжа, а λ_j(x) — множителями Лагранжа. Тогда функционал  называется вспомогательным функционалом и справедлива следующая теорема:

Теорема 2.1.Если вектор-функция  из С¹ [a,b] является решением задачи

(4.1) — (4.3) и при этом выполнено условие (4.5), то существуют такие функции  что y^*(x) является экстремумом функционала .

Определение 2.1. Экстремалями задачи Лагранжа называются экстремали функционала (4.1), удовлетворяющие граничным (краевым) условиям и дифференциальным связям.

Теорема фактически утверждает, все экстремали Лагранжа находятся среди экстремалей вспомогательного функционала. Значит, чтобы найти их, нужно из экстремалей вспомогательного функционала выбрать те, которые удовлетворяют условиям (4.2) и (4.3), т.е. краевым условиям и дифференциальным связям. Учитывая сказанное из теоремы 2.1. легко получить полную систему условий для экстремалей задачи Лагранжа.

Действительно, для отыскания n+k неизвестных функций   мы имеем n уравнений Эйлера и k уравнений связи

Среди решений выбираем те, которые удовлетворяют краевым условиям, которые в свою очередь не

должны противоречить условиям связи.

Замечание 2.3. К задаче Лагранжа можно свести задачу об экстремуме функционала вида

С этой целью введем новые функции y₀=y, y₁=y’,…,y_n=y⁽ⁿ⁾. Тогда исходный функционал примет вид

неизвестные функции в котором связаны уравнениями