Спектральный анализ периодических сигналов (лабораторная работа)

Цель работы – изучение методов спектрального анализа периодических сигналов, исследование амплитудного и фазового спектров периодических последовательностей прямоугольных, треугольных и косинусоидальных импульсов.

1.1 Краткие теоретические сведения

Для анализа и синтеза сигналов очень важны методы представления математической модели сигнала в виде обобщенного ряда Фурье по ортогональным базисным функциям.

Система функций , определенных на интервале времени , называется ортогональной, если скалярное произведение любых двух функций  и  из этой системы удовлетворяет условию

                                      (1.1)

где  – квадрат нормы функции (для сигнала – энергия).

Такая система функций может быть использована в качестве координатного базиса при представлении сигнала , определенного на интервале времени , в виде обобщенного ряда Фурье

,                                                                                (1.2)

где  – коэффициент обобщенного ряда Фурье.

Разложение (1.2) существует, если  на интервале времени  сигнал  удовлетворяет условиям Дирихле:

– не имеет разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции);

– имеет конечное число разрывов первого рода;

– имеет конечное число экстремумов.

Следует отметить, что вне интервала времени  равенство (1.2) может не выполняться.

В настоящее время известно большое число ортогональных систем базисных функций: тригонометрические (гармонические) функции кратных аргументов, полиномы Эрмита, Лежандра, Чебышева, функции Бесселя, Лагерра, Хаара, Уолша и другие. Для анализа целесообразно выбирать систему функций, обеспечивающую наиболее быструю сходимость ряда Фурье , т.е. требующую наименьшего числа членов ряда для заданной точности представления сигнала.

В радиотехнике в качестве базисных функций чаще всего используют гармонические функции. Это связано с тем, что, во-первых, гармонический сигнал является единственным сигналом, сохраняющим свою форму при прохождении через стационарную линейную цепь (входной и выходной сигналы имеют одинаковую частоту, а отличаются амплитудой и/или начальной фазой), во-вторых, для анализа прохождения гармонических сигналов через линейные цепи разработан метод комплексных амплитуд, применение которого упрощает решение задачи.

Гармонические функции являются периодическими, поэтому периодический сигнал , определенный на бесконечном интервале  и удовлетворяющий условиям Дирихле, может быть представлен в виде тригонометрического ряда Фурье