Изучение сигналов. Линейная фильтрация

Линейную фильтрацию широко используют в системах переда­чи информации для обработки сигналов. Объясняется это прежде всего простотой реализации линейных фильтров, ко­торые легко синтезируются и существованием раз­витой теории их построения.

Линейные фильтры являются: неотъемлемой частью любого при­емного устройства. С их помощью осуществляется как додетекторная, так и последетекторная обработки сигналов. С помощью ли­шенных фильтров сигналы разделяются в многоканальных систе­мах передачи. Рассмотрим теорию оптимальной линейной фильтрации.

Пусть сигнал на входе линейного фильтра с импульсной реак­цией g(t) представляет сумму переданного сигнала s[t) и помехи п(t)

Требуется найти такую функцию g(t)

где s^(t)—оценка сигнала на выходе фильтра. Время запаздывания сигнала s^(t) в фильтре t₀=0, а среднее зна­чение берется по ансамблям сигналов S и помех N. Будем пола­гать, что s(t) и n(t) — стационарные взаимно-некоррелированные процессы с известными энергетическими спектрами G_s(f) и G_N(f).

импульсная реакция фильтра должна удовлетворять ус­ловию g(t)=0 для всех t<0.  Этп ограничение учитывается в записи

где область интегрирования γ для физически реализуемого фильт­ра есть интервал (0,∞), а для нереализуемых фильтров - (-∞, о). Можно доказать, что Необходимым и достаточным условием оптимальной   линейной   фильтрации   является  условие (1)

Это означает, что фильтр нужно выбрать так, чтобы ошибка g(t)=s^(t)-S(t) была не коррелированна со входным сигналом Z(t) со всe моменты времени в области у. Докажем справедливость условии. Пусть g₁(t)—им­пульсная характеристика оптимального фильтра, удовлетворяю­щего условию (7.60), g₂(t)—импульсная характеристика любого другого линейного фильтра. Отклики фильтров S₁(t) и S₂(t). Тогда

это выражение будет минимальным, при S₁(t) =S₂(t) что доказывает справедливость условия  (1). Смысл этого условия состоит в том, что случайный вектор S должен быть строго ортогональной проекцией S на линейное подпространство, порождаемое случайным  вектором  z. Представим  условие   (1) для всех τ и γ. Отсюда

или(2)

когда сигнал S (t) и помеха n(t)  некоррелированы (2) принимает вид

(3)

Это основное интегральное уравнение теории линейной фильтрации называется уравнением Винера — Хопфа. Его решением является искомая: функция g(t), минимизирующая средний квадрат ошибок

Уравнение (3) легко решается для нереализуемых фильтров, т. е. когда γ=(-∞,∞). Отсюда, коэффициент  передачи  оптимального   линейного  фильтра

или в более общем  случае, когда учитывается  время запаздывания