Елементи алгебри матриць (Лабораторна робота № 1), страница 3

X_Fb(β)= - β₁ – β₂ λ-….- β_n λ^n-1+ λⁿ.

Алгебраїчне доповнення елемента, що стоїть в n-му рядку і першому стовпчику матриці λI-Fb(β), дорівнює одиниці, тому характеристичний поліном матриці Фробеніуса збігається з його мінімальним поліномом.

Нехай е_i - одиничний вектор, i-та координата якого дорівнює одиниці, а інші дорівнюють нулю, i=1, … , п. Тоді Fb(β)можна представити як

Fb(β)=(β₁e_n ,e₁ + β₂ e_n,…,e_n-1 + β_n e_n).

Якщо для матриці А існує такий вектор B, що rg(B,АВ,...,А^n-1В)=n, тo існує така невироджена матриця R, що R^-1АR= Fb(β). У цьому випадку говорять, що матриця А може набути форми Фробеніуса.

Для доведення розглянемо похідні поліноми φ₁(λ),…,φ_n(λ) матриці A. Оскільки

φ_j(A)B=a_iA^i-j-1B, де a_n+1=1,

то з лінійної незалежності В,АВ,...,А^n-1В випливає лінійна незалежність векторів

φ₁(Α)Β, φ₂(Α)Β_1, ..,φ_n(A)B.

Розглянемо матрицю R=(φ₁(A)B,…,φ_n(Α)Β) і покажемо, що вона приводе матрицю А до форми Фробеніуса.

Позначимо через ώ_i i-й рядок матриці R^-1. Тоді маємо ώ_iφ_j(А)B=1 для i=j і ιυ_ίφ_j(Α)Β=0, якщо ij. У результаті одержимо

R^-1AR=сol(ώ₁,…, ώ_n)A(φ₁(A)B, φ₂(A)B,…, φ_n(A)B)=

=col(ώ₁,…, ώ_n)( Aφ₁(A)B, Aφ₂(A)B,…, Aφ_n(A)B)=

=col(ώ₁,…, ώ_n)((φ₀(A)-a₁I)B,…,(φ_n-1(A)-a_nI)B)=

=(-a₁e_n,e₁-a₂e_n,…,e_n-1-a_ne_n)=Fb(-a₁,…,-a_n)=Fb(-a).

Отже, матриця Фробеніуса, подібна до матриці А, має елементами нижнього рядка коефіцієнти полінома Χ_A(λ) з протилежними знаками і виконується R^-1В=R^-1φ_n(Α)Β=е_n .

Перейдемо до розгляду матриць Грама, що, зокрема, використовуються для встановлення лінійної залежності векторів.

Нехай задані вектори-стовпці υ₁,…,υ_m . Утворимо з них n×m-матрицю. Позначимо V=(υ₁,…,υ_m). Матриця Г(υ₁,…,υ_m) = V^*×V називається матрицею Грама.

υ₁^*υ ₁   υ₁^*υ₂  ….   υ₁^*υ_m

υ₂^*υ₁    υ₂^*υ₂  ….   υ₂^*υ_m

                                            Г(υ₁,…,υ_m)=                …      …  ….  …….

 υ_m^*υ₁    υ_m^*υ₂  ….   υ_m^*υ_m

Критерій Грама лінійної незалежності векторів υ₁,…,υ_n  полягає в тому, що detГ(υ₁,…,υ_m)0

матриця Фробеніуса-  це блочна матриця вигляду:

 

A₁₁    A₁₂

A₂₁   A_{22      ,} 

Де  A₁₁ – стовпець з нулів, A₁₂  одинична матриця, -A₂₁   -а₁ ,A₂₂ -  -а₂, -а₃,...,-а_п

> Fb:=Multiply(z,R);

> Fb:=<<0|1|0|0>,<0|0|1|0>,<0|0|0|1>,<-0.8501|-3.4946|-5.416|-3.78>>;

>  Fb1:=FrobeniusForm(AA);

> Fb:=Transpose(Fb1);

> Fb:=<<0|1|0|0>,<0|0|1|0>,<0|0|0|1>,<-0.8501|-3.4946|-5.416|-3.78>>;

Нехай φ(λ) - аналітична функція. Тоді вона може бути подана у вигляді степеневого ряду . Визначимо значення функції φ для матричного аргументу А як матрицю φ(Α), що обчислюється за формулою .        φ(Α)==

=Rdiag(φ(A₁) ),…, φ(A_n))R^-1 .

Отже, маємо загальну формулу обчислення функції від матриці, якщо всі власні значення – дійсні і різні  то матриця Жордана має вигляд діагональної матриці, у якой на діагоналі стоять власні значення матриці А:

> J:=<<-1.226105292|0|0|0>,<0|-.9195803724-.3528703358*I|0|0>,<0|0|-.9195803724+.3528703358*I|0>,<0|0|0|-.7147339633>>;