Доказание линейной независимости системы. Построение ортонормированной системы, доказывая ортогональность построенных элементов на промежуточных этапах

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЇ І ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ

ОБОВ’ЯЗКОВЕ ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

з дисципліни

ФУНКЦІОНАЛЬНИЙ АНАЛІЗ

ВАРІАНТ 21, МОДУЛЬ 3

Виконала: студентка групи ІН-83

Шамшина С. Ю.

Перевірив: Бондар О.В.

Суми, 2010

Задание 1

В пространстве суммируемых с квадратом функций рассмотрим подпространство многочленов степени не выше 2, а в ней - систему элементов , , .

1)  Доказать линейную независимость данной системы.

2)  Построить ортонормированную систему , доказывая ортогональность построенных элементов на промежуточных этапах.

3)  Аппроксимировать функцию элементами данного подпространства. Найти отклонение  от найденного элемента.

Решение:

1)  Чтобы доказать линейную независимость системы построим определитель Якоби:

Значит, заданная система является линейно-независимой, и мы можем построить ортонормированный базис.

2)  Чтобы построить ортонормированный базис воспользуемся процессом ортогонализации Шмидта.

•        

  

•         

        

             

   

   

•         

    

           

Проверка базиса:

Значит, ортонормированная система построена правильно.

3)  Аппроксимация:

Отклонение:

Задание 2

В пространстве R3 задана система элементов .

(3,-1,1), (5,-1,2), (1,2,4)

1) Доказать линейную независимость данной системы.

2) Построить ортонормированную систему , доказывая ортогональность построенных элементов на промежуточных этапах.

Решение:

1)  Докажем линейную независимость системы используя определитель Грамма.

Определитель Грамма не равен нулю, значит система линейно-независимая.

2)  Построим ортонормированный базис:

• 

• 

•         

   

Проверка: