Визначення значення ймовірностей. Розрахунок густини розподілу відношення

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ОБОВ’ЯЗКОВЕ ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

з дисципліни

МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

МОДУЛЬ 2

ВАРІАНТ 19

Виконав: студент групи ІН-83

Чирва А.С.

Перевірив: проф. Мазманішвілі А.С.       

Суми, 2010

Задача №1

Отримана вибірка об’єму :

7,  1,  4+m,  3,  2+k,  16+2,  15+n,  4,  1,  1, 3+k,  5,

5,  6,  6,  6,  1,  5+m,  3+n,  14+2m,  2,  2, 7,  7,  7,  4,  4,

3,  1,  2+p, 6,  8, 4,  15+3p, 1+k, 1+m,  1+n,  5,  5,  3.

k = 2,      m = 3,      n = 1,      p = 4.

В задачі потрібно:

1.  Побудувати:  інтервальний варіаційний ряд розподілу;  гістограму;  емпіричну функцію розподілу.

2.  Знайти: вибіркове середнє, вибіркову дисперсію, середнє квадратичне відхилення, медіану і моду вибірки.

3.  Оформити результати графічно.

Розв’язання

Вибірка

{7,1,7,3,4,16,18,4,1,1,5,5,5,6,6,6,1,8,4,20,2,2,7,7,7,4,4,3,1,6,6,8,4,27,3,4,2,5,5,3}

Відсортована вибірка за зростанням

{1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,16,18,20,27}

1.  Щоб побудувати інтервальний варіаційний ряд розподілу, ми використовуємо згруповані статистичні ряди наступного виду:

Значення	1	2	3	4	5	6
Частота	5	3	4	7	5	5

Обчислюємо крок розбиття інтервалу вибірки на під інтервали:

Інтервальний варіаційний ряд розподілу:

Будуємо гістограму:

Гістограмму будуємо враховуючи, що ціна ділення по вертикалі осі w виходить діленням відносної частоти на довжину інтервалу вариаціонного ряду.

Рисунок 1. Гістограма вибірки по інтервалах

Емпірична функція розподілення обчислюється за формулою:

Використовуючи згруповані статистичні ряди, заповнюємо таблицю значень емпіричної функції розподілу:

Х
	0

Графік для емпіричної функції:

Рисунок 2. Гістограма емпіричної функції

2.  Вибіркове середнє значення обчислюється за формулою

де  - вибіркові значення,  - обсяг вибірки,  - частість входження значення у вибірку. В нашому випадку воно дорівнює:

Вибіркова дисперсія обчислюється за формулою

де  - вибіркові значення,  - вибіркове середнє,  - обсяг вибірки.  В нашому випадку вона дорівнює:

Середнє квадратичне відхилення знайдемо за формулою:

,

де  - вибіркова дисперсія. В нашому випадку воно дорівнює:

Так як кількість наших спостережень парна, то медіана вибірки обчислюється за формулою:

де  індекс при  . В нашому випадку медіана дорівнює:

Задача № 2

Випадкова величина Х задана густиною розподілу ймовірностей:

Знайти: параметр A;  функцію розподілу F(x);  математичне сподівання M[X];  дисперсію D[X];  ймовірність P(π/4≤X≤π). Роботу оформити графічно.

Розв’язання

Параметр А:

Функція розподілу:

Нехай , тоді

Нехай , тоді

Нехай , тоді

Математичне сподівання:

Дисперсія:

Ймовірність

В термінах інтегральної функції розподілу маємо,

тобто ймовірність потрапляння результату спостережень, або випадкової похибки в заданий інтервал дорівнює різниці значень функції розподілу на границях цього інтервалу. Підставивши, наші значення  у функцію розподілу,

 отримаємо

Задача № 3

Густина розподілу випадкової величини X задана формулою

,

якщо , та нулю в протилежному випадку.

Знайти: Cталу A, функцію розподілу . Визначити значення ймовірностей

Pr{>0.5} та Pr{0,25<X<0.5}.

Розв’язання

Параметр А:

Функція розподілу:

Ймовірність Pr(0.25≤X≤0.5).

В термінах інтегральної функції розподілу маємо,

0.015625-0.001953125 = 0,013671875;

Ймовірність Pr{>0.5}

Задача № 4

Випадкова величина X рівномірно розподілена на інтервалі [-1,1]. Відомо, що  Y=X.

Приймаючи, що цілочисельний параметр m>0 є заданим, знайти коефіцієнт кореляції між випадковими величинами X і Y

Розв’язання

Оскільки величина Х рівномірно розподілена на інтервалі [-1,1], то математичне сподівання  знаходимо за формулою:

Оскільки величини Y та Х, зв’язані за законом Y=X, то математичне сподівання  знаходимо за формулою:

Дисперсія

Коефіцієнт корелції:

.

Задача № 5

Випадкова величина X має густину розподілу ймовірностей  , ; незалежна від неї випадкова величина Y має такий же закон розподілу.

Знайти густину розподілу відношення .

Розв’язання

Функцію розподілу густини знайдемо за формулою: