та
,
або
та
.
При цьому операція ділення заміняється знаходженням зворотного елемента, що є суттєво складною.
Особливістю криптографічних
перетворень в групі точок ЕК є те, що відкритий ключ обчислюється згідно з (6.1).
Якщо особистий ключ в
d сформовано випадково, а Q є відкритий ключ, то задача
криптоаналізу формулюється як знаходження особистого ключа d при відомих Q, G, а також .
6.4 Додаток А ОСНОВНА ІНФОРМАЦІЯ З ЕЛІПТИЧНИХ КРИВИХ
Метою даного додатка є подання математичних співвідношень, які необхідні для реалізації криптографічних перетворень з відкритими ключами та відкритим розповсюдженням ключів, що наводяться у цьому стандарті.
А.1 Скінченне просте поле
А.1.1 Визначення
Ми припускаємо, що читач добре ознайомлений з
модульною арифметикою. Як зазначено в розділі 4, для будь-яких простих існує скінченне поле, що складається точно
з
елементів. Це поле однозначно визначене з
точністю до ізоморфізму. У цьому документі розглядається як скінченне просте
поле
. Для поля визначено дві операції, які
мають назви додавання і множення, а також виконуються такі умови:
- елементи
поля у відношенні до операції додавання
є абелевою групою;
- елементи
поля , позначається як
,
у відношенні до операції множення
є абелевою групою.
Мультиплікативна частина простого поля без елемента позначається як
.
Вона є циклічною групою порядку
. При цьому існує в
крайньому випадку один елемент
у групі
такий, що кожний елемент
у групі
може
бути однозначно записаний як
, де
.
Зворотній елемент групи
Нехай буде елементом групи
. Тоді для кожного
існує
такий, що
.
Елемент
називається мультиплікативно зворотнім до елемента
(інверсією), позначається як
, та може бути обчислений як
.
Характеристика скінченного поля
Якщо для досягнення нульового елемента необхідно додавань деякої точки
, то
називається
характеристикою поля. Якщо нульовий елемент не може бути досягнуто шляхом
додавання, тоді
є нулем, а не нескінченним
елементом.
Ділення в полі
Значення в полі
існує, якщо знаменник не нульовий. У цьому
випадку частка
.
Квадрати й не квадрати в полі
Припустимо, що . Елемент
називається квадратом у полі
, якщо існує елемент
такий, що
. Факт
існування квадратного кореня визначається за умови:
є квадратом у полі
, якщо
.
Пошук квадратного кореня в полі
Для знаходження квадратних коренів у полі існують різні методи. Їх застосування
дозволяє для кожного
знайти
таке,
що
, де
є
квадратом числа
. Приклади таких методів наведено
в [1] та [3].
А.1.2 Еліптичні криві над полем
У цій частині надаються два різних, але еквівалентних подання еліптичних кривих, що визначені над скінченними простими полями – афінне та проективне подання.
А.1.2.1 Афінне подання
Нехай буде скінченним простим
полем з
. Еліптична крива
над
полем
визначається несингулярним кубічним
рівнянням над полем
. У цьому документі допускається,
що крива
описана
«коротким рівнянням Вейєрштраса», тобто
, (А.1.1)
з такими,
що виконується умова
у полі
.
(Більш точно рівняння (А.1.1) називається афінним рівнянням Вейєрштраса).
Еліптична крива над
полем
, що задається рівнянням виду (А.1.1)
складається з набору точок
таких, що виконується
рівняння
, для усіх цих точок разом з додатковою
точкою нескінченності
.
Точка нескінченності не
міститься в
та не задовольняє рівняння (А.1.1). Набір
точок на кривій
вигляду
є
афінним поданням еліптичної кривої
.
А.1.2.1.1 Груповий закон в афінному поданні
Для точок еліптичної кривої визначено бінарну операцію
додавання :
, яка
для кожної пари точок
, що належать кривій
визначає третю точку
. Еліптична крива
є
абелевою групою відносно операції
та має такі
властивості.
Точка нескінченності є нейтральним
елементом для групової операції на кривій
, тобто
, для всіх точок
на
кривій
.
Якщо точка є афінним поданням на кривій
, тоді інверсна точка
має координати
та
.
Якщо точки та
є афінним поданням точок на кривій
, причому
, тоді
координати
суми
визначаються
відповідно до формул:
; (А.1.2)
. (А.1.3)
При цьому, якщо , то
, (А.1.4)
якщо , то
. (А.1.5)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.