Уравнение в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение третьего порядка

Министерство образования и науки Российской Федерации.

Новосибирский государственный технический университет.

Кафедра прикладной математики.

Расчетно-графическое задание по дисциплине

Дифференциальные уравнения.

Выполнил: Шишкин И.П.

Группа: ПМ-53

Вариант: 17

Проверил: Баландин М.Ю.

Новосибирск

2007г.

I.

1. Определить тип и решить дифференциальные уравнения:

Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

1.

Ответ:

2. Определить тип и решить дифференциальные уравнения:

Дифференциальное уравнение третьего порядка, допускающее понижение степени.

Проверим уравнение на линейность:

,

Значит можно провести замену

Получаем:

 

Ответ:

3. Определить тип и решить дифференциальные уравнения:

Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка.

Решим сначала

Заменим теперь произвольную постоянную С на функцию С(x)

Ответ:

4. Определить тип и решить дифференциальные уравнения:

Данное уравнение можно преобразовать к  , которое является линейным относительно x

Решим сначала

Заменим теперь произвольную постоянную С на функцию С(y)

Ответ:

II.

1.Решить систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида  методом вариации постоянных.

В условии в матрице А элемент А₃₃ заменен с   10 на -10

Условие  было изменено по согласованию с преподавателем.

 

Найдем собственные значения матрицы А:

Далее найдем собственные вектора:

,

Где e₁ соответствует значению , е₂

Найдем присоединенный к  e₁ вектор:

Составим из них матрицу перехода P:

Соответствующая матрица J будет иметь вид:

Найдем матрицу :

Далее найдем матрицу :

Умножим матрицы получим:

Далее посчитав интегралы от каждого элемента вектора составим из них соответствующий столбец:

Получим ответ:

Ответ :

2. Решить систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида методом Коши.

Найдем собственные значения матрицы А:

Далее найдем собственные вектора:

,

Составим матрицу перехода Р:

Соответствующая матрица J будет иметь вид:

Найдем матрицу :

Далее найдем матрицу :

H=

Найдем -A^*. (В случае вещественных чисел A^*=A^T):

Собственные значения данной матрицы равны собственным значениям матрицы А, взятым с обратным знаком:

Собственные вектора будут выглядеть следующим образом:

Составим матрицу перехода Р:

Соответствующая матрица J будет иметь вид:

Найдем матрицу :

Далее найдем матрицу :

Умножим матрицы H и H₁:

Умножим матрицы H₁ иF:

Далее, посчитав интегралы от каждой строки столбца H₁F составим из них соответствующий столбец:

Умножив матрицы H₁  и С получим:

Ответ:

III. Решить неоднородное дифференциальное уравнение N-порядка методом вариации постоянных:

1.

 

Ответ:

2. Решить неоднородное дифференциальное уравнение N-порядка методом вариации постоянных:

Ответ: