Определение типа решетки диаграммы Хассе. Рисование диаграммы Хассе решетки делителей числа 5

Министерство образования и науки РФ

ГОУ ВПО

кафедра алгебры и математической логики

РГЗ по Общей Алгебре

Вариант 1

Факультет: ПМИ                                                                        Преподаватели:
Группа:       ПМ-56                                                                       Пономарев К.В.  

Студент:     Алестратова С.Е.                                                     Становски Д.

Новосибирск 2007

Задание 1

Проверить, что следующая диаграмма Хассе определяет решетку. Будет ли эта решетка модулярной? Является ли она дистрибутивной решеткой?

По теореме Дедекинда-Биркгофа решетка является модулярной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешеток изоморфных N; решетка является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешеток, изоморфных решеткам N, M₃.  Где

N :                                                       M₃:

 

Из теоремы решетка не является модулярной, так как она содержит подрешетку, изоморфную N. Данная решетка не дистрибутивная, так как она не модулярная.

Задание 2

Нарисуйте диаграмму Хассе решетки делителей числа 5. Образует ли эта решетка булеву алгебру? При утвердительном ответе определите число ее элементов.

Является ли эта универсальная алгебра простой?

Делители: 1,5

Решетка образует булеву алгебру, если элементы диаграммы можно разместить в n-мерном кубе.

Число элементов: 2

В данном случае, это одномерный куб, значит, решетка образует булеву алгебру.

Универсальная алгебра является простой. Так как кроме (x,y)  x=y (самой маленькой конгруэнции) и (x,y) x,y (самой грубой конгруэнции) не существует других.

Задание 3

Обозначим N = <N,·> - универсальную алгебру натуральных чисел с операцией произведения. Рассмотрим элементы 512 и 6561 этой алегебры и обозначим через B подалгебру, порожденную этими двумя элементами.

Будет ли число 120932352 принадлежать этой подалгебре?

B = <512^α·6561^β>

120932352 / 512=236196

236196 / 6561=36

36 не делится ни на 6561, ни на 512

Число 120932352 нельзя представить как произведение чисел 512^α и 6561^β

Значит,  число 120932352 не принадлежит подалгебре B

Решение 2.

Определим вид элементов, порождаемых 6561 и 512 (т. е. подалгебру B). Разложим эти числа через простые делители.

           

 6561 = 3⁸;  512 = 2⁹;  120932352 = 2¹¹3¹⁰.

Таким образом B =

Число будет принадлежать этой подалгебре, если система будет иметь целые решения.

     

Решения не целые, значит, число 120932352 не принадлежит подалгебре B.

Задание 4

Рассмотрим группу вычетов ­­ аддитивной группы целых чисел  по модулю числа 5. Определите решетку конгруэнций этой группы.

Является ли такая универсальная алгебра простой?

Решетка конгруэнций совпадает с решеткой  подалгебр.

Достаточно рассмотреть делители 5: 0,1

 <0> = {0}

<1> = {0,1,2…..4}

Решетка конгруэнций:

 

Эта универсальная алгебра является простой.

Задание 5

Является ли универсальная алгебра ­­ из предыдущей задачи прямо разложимой?

Алгебра является прямо разложимой, если существуют две конгруэнции такие что: два нетривиальных элемента α и β (не,) удовлетворяют:

α  β =

α  β =

Универсальная алгебра ­­ не является прямо разложимой, так как нет двух нетривиальных элементов α и β (не,)

Задание 6

Образует ли многообразие совокупность простых  универсальных алгебр.

1. подалгебра простой универсальной алгебры должна являться прямо неразложимой.
2. любой гомоморфный образ простой универсальной алгебры должен быть простой универсальной алгеброй.
3. произведение простых универсальных алгебр должно быть простой алгеброй.

Если все три свойства будут выполнены, то совокупность простых алгебр будет многообразием.

Алгебра является простой, если кроме (x,y)  x=y (самой маленькой конгруэнции) и (x,y) x,y (самой грубой конгруэнции) не существует других.

Заметим, что свойство 3. не выполняется. Приведем пример:

Возьмем две простых аглгебры.

 

Перемножим и получим решетку:

 

Эта решетка не является простой, так как есть дополнительные конгруэнции, отличные от (x,y) и (x,y)

Значит, совокупность простых универсальных алгебр не является многообразием.