Математика \ Геометрия и алгебра

Линейные операторы и матрицы. Операции над матрицами и операторами. Эквивалентные и подобные матрицы, страница 2

Для невырожденного оператора существует обратный оператор для В, такой что АВ=ВА=I. Т.к. при перемножении линейных операторов их матрицы перемножаются, а тождественный оператор имеет единичную матрицу, то матрица обратного оператора =.

Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса

A:XY, dimX=n, dimY=m

е,е,,е- первый базис в X, f,f,…,f- второй базис в X

A A

g,g,…,g- первый базис в Y, h,h,,h- второй базис в Y

Коэффициенты определяют матрицу

P=,

называемую матрицей преобразования координат при переходе от базиса е, е,,е к базису f, f,…,f.

Возьмем произвольный вектор xX и разложим его по векторам обоих базисов, т.е.

Матрица преобразования координат P в соотношении (3) невырожденная, т.к. в противном случае имела бы место линейная зависимость между ее столбцами и, следовательно, между векторами f, f,…,f.

Пусть

, (4)

, (5)

где– матрицы оператора в базисах и .

Обозначим через P матрицу преобразования координат при переходе от базиса е,е,,е к базису f, f,…,f, через Q – матрицу преобразования координат при переходе от g , g,…,g к h, h,,h, тогда

(6)

Сравнивая полученное выражение с (5), заключаем, что

(7)

Рассмотрим A:XX. Пусть

е,е,,е- первый базис X, f,f,…,f- второй базис X.

x=, y=.

Тогда

Следовательно ,

т.е.

(7')

Эквивалентные и подобные матрицы

Две прямоугольные матрицы A и B одинаковых размеров называются эквивалентными, если существует две невырожденные квадратные матрицы R и S, такие что

B=RAS.

Из соотношения (7) следует, что две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору в различных базисах пространств X и Y эквивалентны между собой. Справедливо и обратное: если матрица A отвечает оператору A в некоторых базисах пространств X и Y, а матрица B эквивалентна матрице A, то она отвечает тому же линейному оператору в некоторых других базисах X и Y.

Таким образом, каждому линейному оператору, отображающему X в Y, соответствует класс эквивалентных матриц.

Теорема (Критерий эквивалентности матриц).Для того чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они имели один и тот же ранг.

Доказательство:

Необходимость. При умножении любой матрицы на какую-либо невырожденную матрицу ее ранг не меняется.

, rg C rg A, , rg A rg C.

Ранг произведения двух прямоугольных матриц не превосходит ранга любого из сомножителей.

Можно показать и обратное, т.е., что матрицы одинаковых рангов эквивалентны. Докажем большее, что всякая матрица ранга r эквивалентна матрице

Достаточность. Пусть дана прямоугольная матрица размером mn. Она определяет некоторый линейный оператор A, отображающий пространство X с базисом е, е,,е в пространство Y с базисом g , g,…,g. Обозначим через r число линейно-независимых векторов среди образов векторов базиса Ae, Ae,…, Ae. Не нарушая общности, можно считать, что линейно-независимыми являются векторы Ae, Ae,…, Ae, (иначе можно векторы базиса перенумеровать). Остальные векторы Ae, Ae,…, Ae линейно через них выражаются:

. (8)

Определим в линейном пространстве X новый базис f, f,…,f следующим образом:

Тогда (9)

Положим теперь

(10)

Векторы h, h,,h по предположению линейно независимы. Дополним их некоторыми векторами h,,h до базиса пространства Y и рассмотрим матрицу оператора A в новых базисах f, f,…,f и h, h,,h.

Коэффициенты i-го столбца этой матрицы совпадают с координатами вектора в базисе h, h,,h. Согласно соотношениям (9), (10) матрица оператора A будет совпадать с I. Т.к. матрицы A и I соответствуют одному и тому же оператору, они эквивалентны.