Лемма 1.2 (о вложенных отрезках, или принцип Коши-Кантора). Лемма 1.3 (о последовательности стягивающихся отрезков). Теорема 1.18 (теорема Кантора о мощности отрезка)

Лемма 1.2 (о вложенных отрезках, или принцип Коши-

Кантора). Пусть S – система вложенных отрезков, тогда

∃x∈R ∀I∈S x∈I.

4Пусть A – множество левых, а B – множество правых концов отрезков. Тогда ∀a∈A ∀b∈B a≤b. Действительно, пусть

[a,b′],[a′,b]∈S – произвольные отрезки, тогда возможны два случая:

1) [a,b′]⊂[a′,b], 2) [a′,b] ⊂ [a,b′],

a′≤a<b′≤b,                        a≤a′<b≤b′,

a≤b;                                                 a≤b.

Поэтому, в силу аксиомы полноты, ∃x∈R∀a∈A ∀b∈B a≤x≤b, а значит, ∃x∈􀁜 ∀I∈S x∈I. 3

Лемма 1.3 (о последовательности стягивающихся отрезков).

Последовательность стягивающихся отрезков содержит общую точку и притом единственную.

4Наличие этой точки следует из предыдущей леммы. Докажем единственность от противного. Пусть все отрезки содержат две различных точки a и b (для определенности положим a<b), тогда длина всех отрезков должна быть больше, чем b−a>0, но это противоречит тому, что в последовательности есть отрезки сколь угодно малой длины.

Теорема 1.18 (теорема Кантора о мощности отрезка).

Множество точек отрезка несчетно.

Докажем от противного. Пусть все точки отрезка занумерованы

x1 x2……xn….. Делим отрезок на 3 части. Тогда точка 1 x не принадлежит одному из этих отрезков. Делим его на 3 части. Тогда точка 2 x

не принадлежит одному из получившихся отрезков и т.д. Мы получим систему вложенных отрезков. По лемме о вложенных отрезках, существует точка, принадлежащая сразу всем отрезкам. Но эта точка не может совпадать ни с одной из точек последовательности

x1 x2……xn…. по построению.

Говорят, что система S множеств X покрывает множество Y , если

Y⊂∪ X

          X∈S

Лемма 1.4 (лемма Бореля-Лебега о конечном покрытии). В

любой системе интервалов, покрывающих отрезок, имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

4Пусть S – система интервалов, покрывающих отрезок [a,b]=I1.

Если бы отрезок  I1не допускал покрытия конечным набором интервалов системы S , то, поделив  I1пополам, мы получили бы, что, по крайней мере, одна из его половинок, которую мы обозначим  I 2, тоже не допускает конечного покрытия. С отрезком 2 I проделаем ту же процедуру деления пополам, получим  I 3и т.д.

Таким образом, возникает последовательность I 1⊃I 2⊃I 3⊃...

вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия S . Поскольку длина отрезка, полученного на n-м шаге, по построению равна  

In+1 = I1/2^n, то в последовательности I 1,I 2,I 3,... есть отрезки сколь угодно малой длины. По лемме о вложенных отрезках

∃!c∈R ∀n∈Nc∈In.

Так как c∈I1 =[ a,b], то найдется интервал (α,β) ∈S,содержащий точку c, то есть α < c < β. Пусть ε=min{c−α,β−c}.

Найдем в построенной последовательности такой отрезок I n, что

I n < ε . Так как c∈I n и I n < ε , то In⊂(α, β). Но это противоречит тому, что отрезок In нельзя покрыть конечным набором интервалов системы.3

Пусть X – произвольное множество вещественных чисел. Точка

a называется предельной точкой множества X , если в любой ее окрестности содержится бесконечное количество точек множества

X , или, что то же самое, в любой ее окрестности есть хотя бы одна точка множества X , отличная от a .

Лемма 1.5 (о предельной точке, или принцип Больцано-

Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

4Пусть X ⊂ R– данное множество. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке X⊂[a,b]=I. Покажем, что, по крайней мере, одна из точек отрезка I является предельной для X .

Если бы это было не так, то каждая точка x∈I имела бы окрестность, в которой либо вообще нет точек множества X , либо их там конечное число. Совокупность таких окрестностей, построенных для каждой точки x∈I , образует покрытие отрезка I интервалами

U(x)=(x−ε,x+ε), из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему U(x1),U(x2),...,U(xn) интервалов, покрывающих отрезок I . Но поскольку X⊂I, эта же система покрывает все множество X . Однако в каждом интервале U(xi) только конечное число точек множества X , значит, в их объединении тоже конечное число точек X , то есть X – конечное множество. А по теореме Кантора (о мощности отрезка) множество точек отрезка бесконечно.