Содержание учебной дисциплины "Математика". Элементы логики

Содержание учебной дисциплины

   Студент должензнать:

- роль и место математики в современном мире;

- способы задания множеств, правила выполнения действий над множествами;

- структуру математического понятия, правило установления отношения рода и вида между математическими понятиями;

- виды математических предложений, логические схемы предложений, правила определения истинности предложений;

- основные правила построения дедуктивного умозаключения;

- способы задания соответствия между элементами двух множеств, определения взаимно однозначного соответствия, установления равномощности множеств;

- теоретико-множественное обоснование понятия «натуральное число», правила записи, чтения и выполнения действий над натуральными числами в различных системах счисления;

- функции натурального числа,

- определение величины, виды величин и способы их измерения, стандартные единицы измерения;

- определение текстовой задачи, этапы, способы и методы ее решение;

- свойства и способы построения геометрических фигур на плоскости и в пространстве

Уметь:

- выполнять действия над множествами, иллюстрировать действия с помощью кругов Эйлера;

- устанавливать отношение между множествами;

- определять вид, структуру, значение математического предложения;

- строить логическую схему дедуктивного умозаключения, определять истинность простого математического доказательства;

- представлять соответствие между элементами двух множеств с помощью графа, графика;

- записывать, читать, выполнять действия над числами в десятичной системе счисления и в системах счисления с произвольным основанием;

- определять меру величины;

- выделять структурные элементы текстовой задачи, строить вспомогательные модели и математическую модель текстовой задачи;

- выполнять чертеж геометрических фигур на плоскости и в пространстве.

          Тема 1.  Введение. Роль математики в жизни общества.

Предмет математики. Основные этапы развития математики. Математический язык: особенность, становление и развитие. Место и роль математики в современном мире.

Тема 3. Элементы теории множеств: множества и действия над множествами

 Понятие множества и элемента множества. Способы задания множества. Круги Эйлера. Отношения между множествами. Пересечение множеств. Объединение множеств. Вычитание множеств. Декартово произведение множеств. Число элементов в объединении, разности, декартовом произведении множеств.

Практическое занятие Множества и действия над множествами.

Стойлова Л.П. Математика. Учебник для педагогических училищ, колледжей

Раздел 1. Элементы логики

Изучая математику в школе, колледже, вузе необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений, доказательств и т.д. Но, чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, решать задачу развития детей средствами математики, нужно сначала понять, каковы особенности  математических понятий, как устроены определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства.

В конце XIX – начале XX столетий произошел пересмотр старых представлений буквально во всех  областях математических знаний. В результате в конце XIX века возникла новая область математики – теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг Кантор. За небольшой срок теория множеств стала фундаментом всей математики.

1.1 Понятие множества  

В математике часто рассматриваются те или иные группы объектов как единое целое: натуральные числа, треугольники, квадраты, и т.д.

Понятие множества – основное понятие, простое, первичное, поэтому не определяется через другие.

Кантор Г. (1845-1918) – создатель теории множеств. Рассматривал множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью», а также «множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Математический смысл понятия «множества» отличается от того, как оно используется в обыденной речи, где его связывают с большим числом предметов. В математике можно рассмотреть  множество, состоящего из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

Определения и обозначения

Объекты, входящие во множество, называются его элементами.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита  A, B, C, … Z – множества.

Малыми a, b, c, … z – элементы множества.

      - пустое множество, не содержащее ни одного элемента.

 - знак принадлежности.

xA – читается элемент x принадлежащий множеству A.

xА – х  не принадлежит множеству А.

Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:

N – Множество натуральных чисел;

Z – Множество целых чисел;

         Q – Множество рациональных чисел;

I – Множество иррациональных чисел;

         R – Множество действительных чисел.

Отношения между множествами.

АВ – множество А включено в множество В, (если хА, то хВ), читается «множество А – подмножество множества В»

             А – где А любое множество

Если  А имеет n элементов, то у него  2ⁿ    различных подмножеств.

А = В, если АВ и ВА, т.е каждый элемент множества А (хА) принадлежит  множеству В и каждый элемент множества В (yВ) принадлежит и множеству А.

Множества бывают конечные и бесконечные.

Пример:  конечные       множество дней недели

                                        множество месяцев в году

                бесконечные  множество точек на прямой

                                         множество натуральных чисел

Но как узнать, что множество задано?

Множество определяется своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

1.2. Способы задания множеств

1) У конечных множеств в {  } элементы перечисляются через точку с запятой