Из истории возникновения понятия натурального числа (натурального числа). Понятие величины и ее изменения

Из истории возникновения понятия натурального числа (натурального числа)

Натуральное число – то понятие, с которого, как правило, начинается обучение математики.

Различные функции натурального числа:

§  Количественная характеристика множества предметов (Сколько машин на рис.)

§  Характеристика порядка (При счете предметов)

§  Мера величины  (значение величины при выбранной единице измерения; 5 м², 125 г)

§  Компонента вычислений

Различные подходы к определению натурального числа

Числа возникли из потребности счета и измерения и претерпели длительный путь исторического развития.

1. Было время, когда люди не умели считать. Чтобы сравнить конечные множества устанавливали взаимно однозначные соответствие между множествами.

Пр. численность группы из 2^х предметов говорили «Столько же, сколько рук у человека»

т.е человек воспринимая численность предметов без их пересчета. При таком способе сравниваемые множества должно быть одновременно обозримы.

2. Следующий этап: для сравнения множеств стали применять множества посредники: мелкие камешки, раковины, пальцы. Уже множества – посредники – зачатки N – натурального числа. Хотя и на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых предметов: речь шла о пяти камешках,  пяти пальцах, а не о числе «пять» вообще. Название множеств посредников из пяти элементов – «рука»; из 20 элементов  - «весь человек»

3.Только после того как человек научился оперировать множествами – посредниками.

Установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, т.е произошло отвлечение от природы элементов множеств – посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например, яблок, не перечислялись уже «одно яблоко», «два яблока», и т.д., а проговаривались слова «один», «два» и т.д. Произошло это по мнению историков, в каменном веке, в эпоху первобытнообщинного строя, примерно 10-5 тысячелетие до н.э.

4. Постепенно научились не только называть числа, но и обозначать их, выполнять действия над ними. История формирования натурального ряда длительная. Запас чисел увеличивается постепенно. Так, в работе «Псаммит» -  исчисление песчинок – древнегреческий математик Архимед (III в. до н.э) показал, что ряд чисел может быть продлен бесконечно, описал способ образования и словесного обозначения сколь угодно больших чисел.

Об аксиоматическом способе построения теории

Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных. Счет приводит только к натуральным числам. Что представляет собой число как элемент натурального ряда? Ответ дали математики немец Грассман и итальянец Пеано. Что такое натуральное число?

При аксиоматическом построении какой-либо теории соблюдаются определенные правила:

§  некоторые понятия выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

§  каждому понятию теории дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий;

§  формулируется аксиомы,  принимаются без доказательств, в них раскрываются свойства основных понятий;

§  каждое предложение теории (теоремы) должны быть доказаны.

Если соблюдаются правила, то говорят, что теория построена дедуктивно.

Система аксиом должны быть:

§  непротиворечивой -  нельзя вывести два взаимно исключающих друг друга предложений.

§  независимой – никакая из аксиом этой системы не являются следствием других аксиом этой системы.

При аксиоматическом построении арифметики натурального числа взято отношение «непосредственно следовать за» в качестве основного понятия.

Через а – элемент, а¢ – непосредственно следующий за элементом а.

Аксиомы:

А₁. В множестве N существует элемент непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Назвали «единицей» и обозначили символом 1.

А₂. Для каждого а Î N существует единственный элемент а¢

А₃. Для каждого а Î N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

А₄. Всякое подмножество М множества N, обладающее свойствами

1) 1 Î M

2) а Î М Þ а¢ Î M, совпадает с множеством N

Это аксиомы Пиано. Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы, можно дать определение натурального числа.

Опр. Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натурального числа, а его элементы – натуральными числами.

В определении ничего не говориться о природе элементов множества N. Она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество с отношением «непосредственно следовать за» и аксиомами 1-4, мы получим модель данной системы аксиом. Между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие.

Стандартная модель системы аксиом Пиано, возникшей в процессе исторического развития, ряд чисел 1, 2, 3, 4, …

Еще пример модели системы аксиом Пиано:

I,            II,                 III,                     IV, ...

0,           00,                000,                    0000…  

один,     два,              три,                четыре

Натуральное число, рассматриваемое в аксиоматической теории, имеет порядковый смысл.

Количественные натуральные числа. Счет.

Опр. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а, то есть Nа ={х½х ÎN и х £ а}

N₇ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Свойства Nа

1. Любой отрезок Nа содержит единицу (из определения Nа)

2. Если число х содержится в отрезке Nа и х ¹ а, то и непосредственно следующее за ним число х + 1 также содержится в Nа.