Физика \ Теория и методика обучения физике

Движение электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях в магнетроне. Определение удельного заряда электрона методом магнетрона, страница 2

, (5)

где

Спроектируем уравнение на оси полярной системы координат r и с полюсом на оси z цилиндра и полярной плоскостью, перпендикулярной этой оси.

Легко видеть, что

Подставляя эти проекции в уравнение (5), получим систему дифференциальных уравнений:

(6)

Второе уравнение преобразуем, учитывая, что

и после интегрирования

Считая, что электроны вылетают из нити перпендикулярно ее поверхности, то есть

получим

и ;

Полученное значение подставляем в первое уравнение системы (6):

Производную преобразуем:

После интегрирования:

Учтем, что при

т.е. электроны вылетают из нити с малой скоростью, тогда

(8)

Формула (8) отличается от формулы (4) множителем

что для наших данных дает

т.е. результат вычислений по приближенной (4) и по точной (8) формуле будет отличаться не более чем на 0,06 %.

В. Вычисление магнитного поля на оси катушки данных размеров

Формула (2) для вычисления B справедлива для достаточно длинного и тонкого соленоида (однослойного).

Если - высота, а и - радиусы внутренней и внешней обмотки реальной катушки (см. рис.7), то условие применимости формулы (2) и .

Можно более точно вычислить магнитное поле на оси катушки, воспользовавшись законом Био-Савара и Лапласа

. (9)

Здесь - индукция магнитного поля, созданная элементом тока , расположенном на расстоянии от оси катушки и на расстоянии от ее центра. - радиус-вектор, проведенный в точку M от элемента тока.

Введем цилиндрическую систему координат с полюсом в точке O и перейдем к непрерывному распределению тока по сечению катушки плоскостью, проходящей через ось . Воспользуемся также очевидной для данной задачи цилиндрической симметрией. Пусть - число витков в слое (т.е. по h), - число слоев (т.е. число витков от до ); - плотность намотки (число витков на единицу длины). - общее число витков.

Так как , где - объем элемента тока, равный - плотность тока, т.е. ток через единицу сечения, и , , где - полярный угол и

интегрируя, получим

Вектор в точке направлен вдоль оси , так как ось является осью симметрии, поэтому можно найти величину как сумму проекций на ось ; , так как всегда .

. (10)

После интегрирования по получим

где - расстояние от центра до данной точки M по оси . Интегрируем по от до . Получим интеграл

который также берется:

(11)

для центра катушки, т.е. в частном случае, когда a=0, получим

. (12)

Магнитное поле на краю катушки (на торце) получится при :

. (13)

Формулы (11)-(13) позволяют с высокой степенью точности вычислить магнитное поле в любой точке на оси катушки конечных размеров. В нашем эксперименте анод и катод магнетрона помещается в центр катушки и поэтому можно пользоваться формулой (12).

Данные катушки: витков.