Вычитание множеств. Дополнение множества. Декартово произведение множеств

Вычитание множеств. Дополнение множества.

Определение

                Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те

         элементы, которые принадлежат множеству  А и не принадлежат множеству В.

         Обозначается  А \ В                        А \ В = {x | x  A  и x  B}

A                                

        A                   B                                         B A,

A \ B = B'_А

                                                                                                                                                              

                 A \ B - заштрихованная область

Определение

            Пусть В  А. Дополнением множества В до множества  А называется множество, содержащее элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

             В'_А = { x | x  A и  х   В,   ВА}

Как находить дополнение?

1)  Если множества А,В заданы перечислением своих элементов.  В дополнение  В'_А   необходимо перечислить элементы, принадлежащие А и не принадлежащие В.

2)  Если множества А,В заданы   характеристическими свойствами своих элементов и В А, то В'_А задают характеристическим свойством его элементов вида « и Х  В»

Пример:

А – множество четных чисел

В – множество чисел, кратных  4, тогда  множество  В'_А  состоит из четных чисел, которые не делятся на 4.     22  В'_А ?   Да

Выражение может включать несколько действий над множествами:  А\ВС

Внимание:  пересечение более сильная операция, чем вычитание \ и объединение  , а действия   и \ - равноправные, выполняются согласно порядку записи в выражении

Свойства вычитания:                                                                                         А             В

1. (\ В) \ С = (А \ С) \ В                                     А                      В
2. (АВ) \ С = (А \ С) (В \ С)   
3. (А \ В)С = (АС) \ (В С)                             С                                           С
4. А \ (В  С ) =  (А \ В) (А \ С)                                      Свойство 5
5. А \ (В  С) = (А \ В) (А \ С)                            А               В                 А               В

Пример:

                А              В

                                                   А          В                        С                                  С

                                                                                                    Свойство 4

                        С                     С

Свойство 2

Декартово произведение множеств.

Из цифр 7 и 9 можно записать двузначные числа 79, 97, 99, 77. Записаны из одних цифр, но числа различные, важен порядок следования элементов,  в математике говорят об упорядоченных наборах элементов, в данном случае – упорядоченная пара.

            Из элементов а и в упорядоченная пара  обозначается (а, в), где

       а – первая координата (компонента)

       в – вторая координата (компонента)

      (а; в) = (с;d) тогда и только тогда когда  а = с и в = d

Упорядоченные пары можно  образовывать из элементов одного множества, двух множеств.

Пример:

  Даны множества  А = {1;2;3} и  В = {3;5}. Образуем упорядоченные пары, где первая компонента принадлежит множеству А,  а вторая принадлежит множеству В

                  (1;3); (1;5); (2;3); (2;5); (3;3); (3;5).

Получили множество упорядоченных пар, его называют декартовым произведением, а обозначают АВ.

Определение

Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит  множеству А, а вторая компонента  принадлежит множеству В.

                         АВ = { (х, у) | х  А    и   у  В }

Пример:

1) Найти  АВ, если  А = {m;p},   В = {e;f;k}