Фундамент анализа. Полнота множества действительных чисел

§ 7. Фундамент анализа, 4

Полнота множества действительных чисел.

7.1. Вступление.

Определение. Действительным числом a назовем класс эквивалентности a фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Определение. Множество R классов эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел будем называть множеством действительных чисел.

1)  lim a_n = a Û " 0 < eÎR $ pÎN (" nÎN, n ³ p) Þ |a_n - a| £ e

2)  всякая последовательность (a_n), которая является сходящейся, является также фундаментальной

" 0 < eÎR $ pÎN ((" mÎN, " nÎN, m ³ p, n ³ p) Þ |a_m - a_n| £ e)

Естественно попытаться по аналогии с §6 применить процедуру факторизации к множеству фундаментальных последовательностей действительных чисел. Не получим ли мы множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей действительных чисел, содержащее множество R в качестве собственного подмножества?

Оказывается, нет.

В этом § будет установлено замечательное свойство: свойство полноты множества действительных чисел, заключающееся в том, что любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится в R.

7.2. Приближение действительных чисел десятичными дробями.

Определение. Последовательность (q_n) ограничена, если $ 0 < MÎQ, что (" nÎN |q_n| £ M)

Теорема 1. Каждая фундаментальная последовательность рациональных чисел ограничена.

Доказательство. Пусть (q_n) - фундаментальная последовательность рациональных чисел, тогда, в силу фундаментальности, для  e=1  найдется такое pÎN, что:

$ pÎN: ((" m ³ p) Þ |q_n-q_m| £ 1)

m = p -фиксируем, тогда " n ³ p  |q_n| £ |q_p| + 1.

В самом деле: |q_n| = |q_n-q_p+q_p| £ |q_n-q_p| + |q_p| Þ |q_n| £ 1 + |q_p|.

Полагая в качестве M = max (|q₁|, |q₂|, … , |q_p-1|, …, 1+|q_p|) получим: " nÎN |q_n| £ M.ð

В п.6.3. на множестве  было задано унарное отношение “быть положительным“. Условимся писать “>0“. Тогда a ³ 0 Û (a > 0 или a = 0).

Теорема 2. Пусть фундаментальная последовательность (q_n) рациональных чисел представляет действительное число a, тогда:

а) ($ p₁ÎN, $ MÎQ (" nÎN, " n ³ p₁) Þ |q_n| £ M) Þ a £ M.

б) ($ p₂ÎN, $ mÎQ (" nÎN, " n ³ p₂) Þ q_n ³ m) Þ m £ a.

Доказательство. Поскольку " n³p₁  q_n-M £ 0, то фундаментальная последовательность q_n-M - разность фундаментальной последовательности (q_n) и постоянной последовательности M не может быть положительной последовательностью, т.к. она либо нулевая, либо отрицательная.

Поэтому действительное число (a-M), представленное этой последовательностью, не может быть положительным, т.е. a-M £ 0, т.е. a£M.

Аналогично, рассматривается б).

Теорема 3. Фундаментальная последовательность (q_n) рациональных чисел представляет действительное число a тогда и только тогда, когда " 0<eÎR $pÎN, что "nÎN и n³p будет выполняться неравенство |q_n-a| £ e:

(q_n)Îa Û " 0 < eÎR $ pÎN (" nÎN, n³p) Þ |q_n-a| £ e.

Доказательство. Докажем лишь необходимость. Очевидно, что " eÎR $ e₁ÎQ (e₁£e)

Пусть фундаментальная последовательность (q_n) рациональных чисел является представителем числа a.

По условию она фундаментальна, т.е. " 0 < eÎQ $ pÎN (" nÎN, " mÎN, n³p, m³p) Þ |q_n-q_n| £ e/2.

Зафиксируем n³p, тогда получим фундаментальную последовательность        (q_m-q_n): (q₁-q_n; q₂-q_n; … ; q_n-1-q_n; 0; q_n+1-q_n; …).

Все члены этой последовательности при m³p удовлетворяют неравенству: |q_m-q_n|£ e/2.

По теореме 2 и представленное этой последовательностью действительное число | a-q_n | £ e/2.

| a-q_n | £ e Î R "n³p. 

Теорема 4. Каково бы ни было действительное число a, всегда найдется целое число M, что будет выполняться неравенство M£a<M+1, причем число M определяется единственным образом.

(" aÎR $! MÎZ (M £ a < M+1))

Доказательство.

Шаг 1. Доказательство существования.

Пусть фундаментальная последовательность (q_n) рациональных чисел представляет действительное число a:  ((q_n)Îa). В силу Теоремы 1, $ LÎZ₀, такое что " nÎN q_n³-L, q_n£L: (-L£ q_n £L).

По Теореме 3 (q_n)Îa Û " e>0, eÎR $ pÎN: ((" nÎN, n³p) Þ ½q_n -a½ £ e).

Тогда " n³p ½a½=½a- q_n + q_n ½£½a- q_n ½+½ q_n ½£ e + L.

½a½ £ e + L Û -L-e £ a £ L+e.

Т.к. e – произвольное число >0, то –L £ a £ L. После этого очевидно, что    -1-L < a < L+1.

Тогда среди конечного множества целых чисел:  -L-1, -L, -L+1, …, -1, 0, +1, …, L, L+1,  найдем первое число M+1, для которого выполняется условие a < M+1.

Тогда число M не удовлетворяет неравенству M £ a < M+1, т.е. такое число M существует.

Шаг 2. Доказательство единственности.4