Фундамент анализа. Полнота множества действительных чисел, страница 2

Пусть имеется еще одно целое число M₁ со свойством M₁ £ a < M₁+1. Если при этом M₁ > M, то M₁+1£M, но тогда было бы M₁+1 £ M £ a и получим противоречие с тем, что a <  M₁+1. Точно также не может быть и неравенства M₁>M Þ M₁=M, т.е. число существует и единственно. ›

Теорема 5. Для любого действительного числа a и любого n из множества Z₀ всегда найдется одно и только одно такое целое число M_n, что будут выполняться неравенства:  

                                  M_n/10ⁿ £ a <  (M_n+1)/10ⁿ.

Доказательство. По Теореме 4 для действительного числа a×10ⁿ найдется такое целое число M_n, что будут выполняться неравенства:

M_n £ a×10ⁿ <  M_n+1 Þ M_n/10ⁿ £ a <  (M_n+1)/10ⁿ. 

Определение. Рациональные числа M_n/10ⁿ, (M_n+1)/10ⁿ (ÎQ), которые определены в Теореме 5, называются десятичными приближениями действительного числа a соответственно по недостатку и по избытку с точностью до 1/10ⁿ.

Теорема 6. Обе последовательности (M_n/10ⁿ) и ((M_n+1)/10ⁿ) десятичных приближений действительного числа a, полученные выше, имеют общий предел, равный a, т.е. они являются представителями числа a и полностью его определяют.

Доказательство. Очевидно, что " nÎN 10ⁿ>n Þ " e>0  10ⁿ×e>n×e. В силу свойства (4-1) унитарного отношения “быть >0“ для чисел e и 1 найдется nÎN, что 10ⁿ×e > n×e > 1. Из последних неравенств следует: $ pÎN, что " nÎN, n³p выполняется неравенство 1/10ⁿ < e.

Тогда " n³p будут выполняться неравенства:

½a - M_n/10ⁿ ½< (M_n+1)/10ⁿ - M_n/10ⁿ = 1/10ⁿ < e Þ по определению:

lim M_n/10ⁿ = a.

Соответственно ½a - (M_n+1)/10ⁿ ½= (M_n+1)/10ⁿ - a £ (M_n+1)/10ⁿ - M_n/10ⁿ = = 1/10ⁿ < e

Имеем, что lim (M_n+1)/10ⁿ = a = lim M_n/10ⁿ. ›

На основании Теоремы 6 заключаем, что последовательность (5) из §4 сходится в R.

7.3. Полнота множества действительных чисел.

Теорема. Любая фундаментальная последовательность действительных чисел имеет предел во множестве действительных чисел, т.е. сходится в R.

Доказательство. Если все члены фундаментальной последовательности (a_n) являются рациональными числами, то мы имеем Теорему 3.

В общем случае на основании Теоремы 5 п.7.2. выберем десятичные приближения чисел a_n по недостатку с точностью 1/10ⁿ, т.е. так, чтобы выполнялись неравенства: 0 £ a_n-q_n < 1/10ⁿ, " nÎN Þ последовательность (a_n-q_n) сходится к 0, т.к. " 0<eÎR $ pÎN (("nÎN, n³p) Þ ½a_n-q_n ½< 1/10ⁿ < e).

Покажем, что последовательность рациональных чисел (q_n) – фундаментальна.

Пусть 0<eÎR, тогда $ pÎN такое, что из условия (" mÎN, " nÎN, n³p, m³p) будут выполняться следующие неравенства:

½a_m-q_m ½< 1/10^m < e/3,

½a_n-q_n ½< 1/10ⁿ < e/3.

Это можно сделать, т.к. a_n-q_n ® 0.

½a_n-a_m ½< e/3, т.к. (a_n) – фундаментальна.

Отсюда при тех же m и n имеем:

|q_n-q_m| = ½q_n - a_n + a_n - a_m + a_m - q_m ½£ ½q_n - a_n ½+ ½a_n - a_m ½+ ½a_m - q_m½< e/3 + e/3 + e/3 = e.

Доказана фундаментальность (q_n).

В силу Теоремы 3 (q_n)Îa Û " 0<eÎR $ pÎN ((" nÎN, n³p) Þ ½q_n -a½< e/2). Тогда для любого n³p будут выполняться неравенства:

½a_n - a½=½a_n - q_n + q_n - a½£½a_n - q_n½+½q_n - a½< e/3 + e/2 = 5e/6 < e Þ

lim a_n = aÎR. ›

Доказанная теорема дает отрицательный ответ на вопрос, поставленный во вступлении 7.1.

Установленная теорема есть свойство (5-1) структуры полного архимедовски упорядоченного поля. Этим доказательство не пустого носителя структуры полного архимедовски упорядоченного поля закончена и цель лекции “Фундамент анализа“ достигнута.

7.4. Другие не пустые носители структуры полного архимедовски упорядоченного поля.

Используя бинарное отношение “<“ во множестве рациональных чисел Q можно построить другой носитель структуры архимедовски упорядоченного поля.

Определение 1. Будем говорить, что в Q задано сечение, если проведено разбиение Q на 2 класса A и A¢ так, чтобы " aÎQ, " a¢ÎQ (aÎA, a¢ÎA¢ Þ a<a¢).

Определение 2. Если AÌQ, BÌQ, то

A+B = {a + b ½aÎA, bÎB},

A×B = {a × b ½aÎA, bÎB}.

def

Внутренние законы композиции “+“, “ד на множестве сечений задаются правилами:

(A; A¢) + (B; B¢) =  (A + B; A¢ + B¢);

def

(A; A¢) ×(B; B¢) =  (A × B; A¢ ×B¢);

Унарное отношение “быть >0“ на множестве сечений задается соглашением (A; A¢) > , если " (A¢ ') a¢>0.

Действительным числом назовем любое сечение Q. Множество всех таких действительных чисел, т.е. сечений, обозначим через S.

A = {xÎQ½x £ 1};

A¢ = {xÎQ½x > 1};

A = {xÎQ½x <};

A¢ = {xÎQ½x >};

Исходя из множества H всех формальных символов a₀,a₁a₂a₃…, где a₀ÎZ, a_n={0,1,2,…,9} можно построить третий носитель структуры полного архимедовски упорядоченного поля.