Схема испытаний Бернулли. Повторные испытания в схеме Бернулли. Рекуррентная формула для подсчета вероятностей в схеме Бернулли

ЛЕКЦИЯ 3

СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ

3.1. Повторные испытания в схеме Бернулли. 1

3.2. Рекуррентная формула для подсчета вероятностей в схеме Бернулли. 2

3.3.Наивероятнейшее число испытаний события в схеме Бернулли. 3

3.4. Приближенные формулы в схеме  испытаний Бернулли. 4

3.5.Локальные теоремы Муавра-Лапласа. 5

3.6. Интегральная теорема Лапласа. 5

3.7. Отклонение относительной частоты от вероятности. 6

3.1. Повторные испытания в схеме Бернулли 

Повторные испытания независимы, если вероятность появления любого исхода в каждом испытании не зависит от реализации результатов в предыдущем испытании.

Определение 3.1. Схемой Бернулли – это выполнение следующих 3 условий:

1) производится n повторных испытаний,

2) в каждом испытании возможно только 2 исхода: событие  появилось и событие  не появилось,

3) вероятность появления события  одинакова для каждого испытания  и равна :

, .

Примеры.

·  Игральная кость бросается 5 раз:

, ,  

·  Найти вероятность того, что при 3-х бросаниях монеты герб выпадет 2 раза:

W= {ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РГР, ГРР, РРР}

В = {выпало 2 герба и 1 решка}

.

            Теорема 3.1.  Вероятность того, что в  испытаниях схемы Бернулли событие  произошло  раз, вычисляется по формуле

.

►Пусть  – исход -того испытания.

:

Тогда результатами испытания будут:

,

где событие  произошло  раз,  произошло  раз.

Тогда

            Вероятность события в  испытаниях (событие  произошло  раз) есть сумма стольких элементарных событий { – произошло  раз, ` произошло ) раз}, сколько существует сочетаний из  элементов по , т. е. .

            Поэтому .◄

            Примеры.

·  Завод выпускает изделия, среди которых 5% - бракованные. Для проверки взято 5 деталей. Найти вероятности событий: , .

Решение.

,

,

, .

Тогда  ,

.

·  Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью 0,05 может быть дефектным. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы вероятность встретить в них хотя бы 1 дефектную деталь была не меньшей, чем 0,98.

Решение.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

3.2. Рекуррентная формула для подсчета вероятностей в схеме Бернулли

Теорема 3.2. , .

            Пример. Найти распределение вероятностей числа бракованных деталей среди 5-ти отобранных, если вероятность брака 0,60.

Решение.

,  = {деталь бракованная}

р = 0,6, q = 0,4.

            События Р_n(0), Р_n(1), …, Р_n(n)  составляют полную группу событий. Поэтому их сумма равна единице, т. е.

,

,

.

            Если сравнить полученную формулу с формулой Бинома Ньютона

.

Поэтому распределение вероятностей Р_n(0), Р_n(1), …, Р_n(n) называется биноминальным распределением.

3.3.Наивероятнейшее число испытаний события в схеме Бернулли

            Определение 3.2. Наивероятнейшее числоm₀ появления события  в n независимых испытаниях – число, для которого вероятность P_n(m₀) превышает или не меньше вероятности каждого из возможных остальных исходов испытаний.

Теорема 3.3.    

► По теореме 3.2. имеем:

.

Согласно определению числа m₀ имеем неравенства:

   

      

     ◄

            Пример. При данном технологическом процессе 85% произведенной продукции высшего качества. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 120 изделий.

Решение.

n = 120,  = {изделия высшего сорта}, р = 0,85, q = 0,15 

120*0,85 – 0,15≤m₀≤120*0,85 + 0,85

101,85≤m₀≤102,85

m₀ = 102 

3.4. Приближенные формулы в схеме  испытаний Бернулли.

    По определению:

Теорема3.4. (Пуассона) Если в схеме испытаний Бернулли  – велико,  – мало,  – конечное число, то справедлива формула Пуассона:

.

► По формуле Бернулли

.◄

            Пример. Прибор содержит тысячу элементов. Вероятность выхода из строя каждого элемента 0,002. Найти вероятность того, что из строя вышло не более 7 элементов.

Решение.

n=1000,р = 0,002,к£7

  = 1000*0,002 = 2

 3.5.Локальные теоремы Муавра-Лапласа.

Теорема 3.5. Если в схеме испытаний Бернулли число испытаний  велико,  , число  ограничено, то вероятность того, что в  испытаниях событие  произойдет  раз, находится по формуле , где   -  функция Лапласа.

            Функция Лапласа вычисляется по специальным таблицам. Для того чтобы уметь пользоваться таблицами, надо знать свойства функции j(х): 

 1.  График функции:                                 

 2.  Функция  является четной, поэтому таблицы составлены только для положительных значений.

 3. Ось  является асимптотой графика функции  и к ней достаточно быстро приближаются ветви графика. Поэтому таблицы составлены для значений х от 0 до 4. Если надо найти значение j(х), х>4, то берут последнее табличное значение.

            Пример. По данным ОТК 80% всей продукции, выпускаемой заводом, стандартны. Найти вероятность того, что среди взятых 400 изделий бракованными будут 40.

Решение.

 = {1 изделие бракованное}, n = 400, р = 0,2, к = 40

  

3.6. Интегральная теорема Лапласа

Теорема 3.6. Если в схеме испытаний Бернулли n – велико, 0<р<1, то вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет не менее к₁ раз и не более к₂ раз, удовлетворяет соотношению:, где  и .

     Преобразуем формулу:

Поэтому интегральную формулу Муавра – Лапласа можно записать в виде

,

где .

 Значения функции f(х) находятся в таблицах.

    Свойства функции f(x):

 1.  График функции:                        

2.  f(х) – функция нечетная, поэтому таблицы приведены только для положительных значений х.

 3.  График функции имеет 2 асимптоты у₁ = 0,5 и у₂ = -0,5, к которой быстро приближаются, поэтому таблицы составлены для значений х от 0 до 4. При х>4 берется последнее значение таблицы.              

            Пример. Промышленная телевизионная установка содержит 2000 транзисторов. Вероятность выхода из строя каждого из транзисторов – 0,0005. Найти вероятность выхода из строя от 50 до 60 транзисторов.

Решение.

50£к£60, n = 2000, р = 0,0005

.

3.7. Отклонение относительной частоты от вероятности

            Относительная частота  появления события  в  испытаниях .

 При   относительная частота стремится к вероятности события . Тогда  – абсолютное отклонение относительной частоты от вероятности.

Теорема 3.7.

►Пусть дано . Тогда:

◄