Математика \ Теория вероятности

Схема испытаний Бернулли. Повторные испытания в схеме Бернулли. Рекуррентная формула для подсчета вероятностей в схеме Бернулли

Страницы работы

6 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

ЛЕКЦИЯ 3

СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ

3.1. Повторные испытания в схеме Бернулли. 1

3.2. Рекуррентная формула для подсчета вероятностей в схеме Бернулли. 2

3.3.Наивероятнейшее число испытаний события в схеме Бернулли. 3

3.4. Приближенные формулы в схеме испытаний Бернулли. 4

3.5.Локальные теоремы Муавра-Лапласа. 5

3.6. Интегральная теорема Лапласа. 5

3.7. Отклонение относительной частоты от вероятности. 6

3.1. Повторные испытания в схеме Бернулли

Повторные испытания независимы, если вероятность появления любого исхода в каждом испытании не зависит от реализации результатов в предыдущем испытании.

Определение 3.1. Схемой Бернулли – это выполнение следующих 3 условий:

1) производится n повторных испытаний,

2) в каждом испытании возможно только 2 исхода: событие появилось и событие не появилось,

3) вероятность появления события одинакова для каждого испытания и равна :

, .

Примеры.

· Игральная кость бросается 5 раз:

, ,

· Найти вероятность того, что при 3-х бросаниях монеты герб выпадет 2 раза:

W= {ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РГР, ГРР, РРР}

В = {выпало 2 герба и 1 решка}

Теорема 3.1. Вероятность того, что в испытаниях схемы Бернулли событие произошло раз, вычисляется по формуле

►Пусть – исход -того испытания.

Тогда результатами испытания будут:

где событие произошло раз, произошло раз.

Тогда

Вероятность события в испытаниях (событие произошло раз) есть сумма стольких элементарных событий { – произошло раз, ` произошло ) раз}, сколько существует сочетаний из элементов по , т. е. .

Поэтому .◄

Примеры.

· Завод выпускает изделия, среди которых 5% - бракованные. Для проверки взято 5 деталей. Найти вероятности событий: , .

Решение.

, .

Тогда ,

· Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью 0,05 может быть дефектным. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы вероятность встретить в них хотя бы 1 дефектную деталь была не меньшей, чем 0,98.

Решение.

3.2. Рекуррентная формула для подсчета вероятностей в схеме Бернулли

Теорема 3.2. , .

Пример. Найти распределение вероятностей числа бракованных деталей среди 5-ти отобранных, если вероятность брака 0,60.

Решение.

, = {деталь бракованная}

р = 0,6, q = 0,4.

События Р_n(0), Р_n(1), …, Р_n(n) составляют полную группу событий. Поэтому их сумма равна единице, т. е.

Если сравнить полученную формулу с формулой Бинома Ньютона

Поэтому распределение вероятностей Р_n(0), Р_n(1), …, Р_n(n) называется биноминальным распределением.

3.3.Наивероятнейшее число испытаний события в схеме Бернулли

Определение 3.2. Наивероятнейшее числоm₀ появления события в n независимых испытаниях – число, для которого вероятность P_n(m₀) превышает или не меньше вероятности каждого из возможных остальных исходов испытаний.

Теорема 3.3.

► По теореме 3.2. имеем:

Согласно определению числа m₀ имеем неравенства:

◄

Пример. При данном технологическом процессе 85% произведенной продукции высшего качества. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 120 изделий.

Решение.

n = 120, = {изделия высшего сорта}, р = 0,85, q = 0,15

120*0,85 – 0,15≤m₀≤120*0,85 + 0,85

101,85≤m₀≤102,85

m₀ = 102

3.4. Приближенные формулы в схеме испытаний Бернулли.

По определению:

Теорема3.4. (Пуассона) Если в схеме испытаний Бернулли – велико, – мало, – конечное число, то справедлива формула Пуассона:

► По формуле Бернулли

.◄

Пример. Прибор содержит тысячу элементов. Вероятность выхода из строя каждого элемента 0,002. Найти вероятность того, что из строя вышло не более 7 элементов.

Решение.

n=1000,р = 0,002,к£7

= 1000*0,002 = 2

3.5.Локальные теоремы Муавра-Лапласа.

Теорема 3.5. Если в схеме испытаний Бернулли число испытаний велико, , число ограничено, то вероятность того, что в испытаниях событие произойдет раз, находится по формуле , где - функция Лапласа.

Функция Лапласа вычисляется по специальным таблицам. Для того чтобы уметь пользоваться таблицами, надо знать свойства функции j(х):

1. График функции:

2. Функция является четной, поэтому таблицы составлены только для положительных значений.

3. Ось является асимптотой графика функции и к ней достаточно быстро приближаются ветви графика. Поэтому таблицы составлены для значений х от 0 до 4. Если надо найти значение j(х), х>4, то берут последнее табличное значение.

Пример. По данным ОТК 80% всей продукции, выпускаемой заводом, стандартны. Найти вероятность того, что среди взятых 400 изделий бракованными будут 40.

Решение.

= {1 изделие бракованное}, n = 400, р = 0,2, к = 40

3.6. Интегральная теорема Лапласа

Теорема 3.6. Если в схеме испытаний Бернулли n – велико, 0<р<1, то вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет не менее к₁ раз и не более к₂ раз, удовлетворяет соотношению:, где и .

Преобразуем формулу:

Поэтому интегральную формулу Муавра – Лапласа можно записать в виде

где .

Значения функции f(х) находятся в таблицах.

Свойства функции f(x):

1. График функции:

2. f(х) – функция нечетная, поэтому таблицы приведены только для положительных значений х.

3. График функции имеет 2 асимптоты у₁ = 0,5 и у₂ = -0,5, к которой быстро приближаются, поэтому таблицы составлены для значений х от 0 до 4. При х>4 берется последнее значение таблицы.

Пример. Промышленная телевизионная установка содержит 2000 транзисторов. Вероятность выхода из строя каждого из транзисторов – 0,0005. Найти вероятность выхода из строя от 50 до 60 транзисторов.

Решение.

50£к£60, n = 2000, р = 0,0005