Работа и энергия. Работа, мощность. Консервативные и диссипативные силы. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы. Закон сохранения энергии

ТЕМА 9  РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

1 Работа, мощность.

2 Консервативные и диссипативные силы.

3 Кинетическая и потенциальная энергия механической системы.

4 Закон сохранения энергии.

Вопросы для самоподготовки

1 Напишите различные возможные варианты выражения для работы. Поясните смысл величин входящих в эти выражения.

2 В каких единицах измеряются работа и мощность в системе СИ? Дайте определения этих единиц.  это единица измерения работы или мощности?

3 Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии.

4 Частица движется равномерно по окружности. Чему равна работа равнодействующей всех сил, действующих на частицу: а) за один оборот, б) за половину оборота, в) за четверть оборота?

5 Какие силы называют консервативными? диссипативными? Приведите примеры консервативных и диссипативных сил.

6 Дайте определение потенциальной энергии. Чем она обусловлена?

7 Почему потенциальная энергия может быть определена только с точностью до некоторой постоянной? Что это за постоянная?

8 Как следует понимать выражение «Потенциальная энергия является функцией состояния системы»?

9 Сформулируйте закон сохранения энергии. Почему в механике рассматривают только два вида энергии - кинетическую и потенциальную?

10 Приведите пример замкнутой механической системы, в которой закон сохранения механической энергии не выполняется.

Основные понятия по теме

Пусть под действием силы  материальная точка совершает малое перемещение . Действие силы  на перемещении  характеризуют величиной , равной скалярному произведению этих векторов, которое называется элементарной работой силы  на перемещении :

.               (9.1)

Здесь угол между векторами  и , элементарный путь, проекция вектора  на вектор  (рисунок 9.1). Требование малости перемещения  означает, что модуль вектора силы и угол  в пределах этого перемещения не изменяются.

В общем случае работа силы  на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути

.                    (9.2)

Выражение (9.2) имеет наглядный геометрический смысл. Если зависимость  от  задана графически, то работа  определяется площадью соответствующей криволинейной трапеции (рисунок 9.2).

Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят понятие мощности. Мощность  силы  - это работа, совершаемая силой  за единицу времени

.                                       (9.3)

Таким образом, мощность, развиваемая силой , равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы.

Вычисление работы конкретных сил по формуле (9.2) показывает, что работа некоторых из них не зависит от формы траектории и определяется только начальным 1 и конечным 2 положениями точки. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными. Примерами таких сил могут служить:

- сила тяжести

;                                     (9.4)

- сила упругости

.                                        (9.5)

Очевидно, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю.

Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными. Важным примером неконсервативных сил могут служить диссипативные силы, к которым относятся силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положениями точки и не равна нулю на любом замкнутом пути.

Независимость работы консервативных сил от пути между точками 1 и 2 позволяет ввести для этих сил понятие потенциальной энергии.

Потенциальной энергией тела в состоянии 1 называют величину  равную работе по перемещению тела из этого состояния в «бесконечность» под действием только консервативных сил

.                                               (9.6)

Термин «бесконечность» в данном определении имеет условный смысл. Им обозначено состояние тела в котором его потенциальная энергия принята равной нулю.

Вычислим работу, совершаемую при перемещении тела из состояния 1 в состояние 2 (рисунок 9.3). Учитывая тот факт, что работа консервативных сил не зависит от пути, получаем

.            (9.7)

Из выражения (9.7) следует, что работа при перемещении тела из состояния 1 в состояние 2 равна убыли потенциальной энергии тела.

Приведенная выше формулировка (9.6) определяет потенциальную энергию тела в поле консервативных сил. При этом сила и потенциальная энергия связаны соотношением

.              (9.8)

Потенциальная энергия взаимодействующих тел определяется их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Помимо потенциальной энергии в механике рассматривается кинетическая энергия. Кинетическая энергия – это энергия движения тела. Она зависит только от массы и скорости тела. Для точечного тела

.                                          (9.9)

Связь кинетической энергии и работы устанавливает теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела при его перемещении из состояния 1 в состояние 2 равно работе всех сил приложенных к телу на этом перемещении

.                                    (9.10)

Сумму кинетической и потенциальной энергий называют полной механической энергией

.                                        (9.11)

Записав выражения аналогичные (9.7) и (9.10) для системы тел, нетрудно получить, что для произвольно выбранных состояний 1 и 2

.                          (9.12)

Соотношение (9.12) выражает закон сохранения энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия не изменяется

.                                   (9.13)

Закон сохранения энергии является следствием однородности времени – инвариантности физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

Примеры решения задач