Произвольные последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Частичные верхний и нижний пределы

§ 12. Произвольные последовательности

12.1 Подпоследовательности.

Определение. Подпоследовательностью последовательности действительных чисел называется последовательность (y_k), которая получается из (x_n) удалением некоторых членов и сохранением порядка остальных.

x₁; x₂; x₃; x₄; x₅; x₆; x₇; …;  x_nk; …

x₁; y₁; x₃; x₄; y₂; x₆; y₃; …;  y_k; …

Поскольку y_k = x_nk, то последовательность (y_k) обычно обозначают (x_nk). Последнее обозначение хорошо тем, что указывает из какой последовательности получена подпоследовательность. Всегда n₁ < n₂ < n₃ < … < n_k < … Исходная последовательность (x_n) может рассматриваться в качестве подпоследовательности самой себе:

" k Î N n_k = k

Теорема 1. Каждая подпоследовательность, сходящаяся в R последовательности действительных чисел, имеет тот же предел, что и исходная последовательность.

           Пусть lim x_n = x₀ Î R, тогда " e > 0 $ p Î N (n ³ p Þ | x_n – x₀ | < e). Так как n_p ³ p, то " k Î N (k ³ p Þ |x_nk – x₀ | £ e). Это означает, что .

Пусть теперь lim x_n = +¥, то есть " e Î R $ p Î N (k ³ p Þ x_nk ³ e), то есть .

Аналогично рассматривается случай: lim x_n = – ¥.

Теорема 2. Если все подпоследовательности некоторой последовательности (xn) действительных чисел  сходятся в R, то они все сходятся к одному и тому же пределу.

 Очевидно. Действительно, последовательность (x_n), как подпоследовательность самой себя, сходится к некоторому пределу. Тогда все ее подпоследовательности в силу Теоремы 1 сходятся к тому же пределу.

Важное значение имеет, так называемая,

12.2 Лемма Больцано-Вейерштрасса .

Лемма. Из всякой ограниченной последовательностидействительных чисел можно выделить сходящиеся в R подпоследовательность.

 Доказывается методом деления отрезков пополам.

По условию $ M > 0 " n Î N x_n Î [ – M, M ].

Разделим [ – M, M ] пополам. Через D₁ обозначим ту из его половинок, что содержит бесконечно много членов последовательности (x_n) и находится правее. Выберем член x_n1, последующий (x_n), принадлежащий отрезку D₁.

Разделим D₁ пополам. По крайней мере хотя бы одна из половинок содержит бесконечно много членов (x_n), ибо в противном случае отрезок D₁ содержал бы конечное число членов (x_n), чего быть не может. Обозначим через D₂ ту из половинок D₁, что содержит бесконечно много членов x_n и находится правее. Выберем член x_n2, принадлежащий D₂ и такой, что         n₂ > n₁.

Если отрезки D₁ É D₂ É … É D_k-1 выбраны, то

a) разделим отрезок D_k-1 пополам;

б) через D_k обозначим ту из половинок, что содержит бесконечно много членов (x_n) и находится правее;

в) выберем x_nk Î D_k; n_k > n_k-1.

По лемме о вложенных отрезках существует единственная точка x₀ такая, что " n Î N x₀ Î D_n.

Так как x_nk Î D_k = [ a_k; b_k ], то есть a_k £ x_nk £ b_k, то в силу принципа двустороннего ограничения lim x_nk = x₀.

Обобщением леммы Больцано-Вейерштрасса является следующая теорема.

Теорема. Из произвольной последовательности (xn) действительных чисел можно выделить сходящиеся в R последовательность.

 Если x_n = 0 (1), то теорема доказана выше.

Пусть x_n ¹ 0 (1). Очевидно, если у неограниченной последовательности отбросить любое конечное число членов, то после такого отбрасывания снова получается неограниченная последовательность.

Так как (x_n) – неограниченная последовательность, то найдется член x_n такой, что           | x_n1 | ³ 1.

Поскольку (x_n), рассматриваемая с начального номера n₁+1, также неограниченная, то найдется член x_n2, такой, что | x_n2 | ³ 2.

Продолжая этот процесс дальше, на котором иначе найдем член x_nk с n_k > n_k-1, такой, что | x_nk | ³ k. Очевидно, что lim | x_nk | = +¥. При этом либо число положительных, либо число отрицательных членов подпоследовательности (x_nk) заведомо является бесконечным, тогда в (x_nk) можно, в свою очередь, выделить подпоследовательность, сходящуюся к +¥ либо к        –¥.