Произвольные последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Частичные верхний и нижний пределы, страница 2

Примеры. 1) " n Î N x_n = (–1)ⁿ lim x_2k = 1; lim x_2k+1 = –1;

2) " n Î N x_n = (–1)ⁿn lim x_2k = +¥, lim x_2k+1 = –¥.

12.3 Частичные верхний и нижний пределы.

Определение 1. Элемент x₀ Î R называется частичным пределом последовательности (x_n) действительных чисел, если $ подпоследовательность (x_nk) последовательности (x_n), сходящаяся к x_n: .

Множество всех частичных пределов последовательности (x_n) называют предельным множеством (x_n).

В силу теоремы предыдущего пункта описательное определение 1 содержательно, ибо произвольная последовательность (x_n) действительных чисел обязательно имеет хотя бы один частичный предел.

Примеры. 1) Колеблющая последовательность (–1)ⁿ имеет два частичных предела: –1 и +1, ее предельное множество {–1; +1} двуэлементно.

2) Как будет показано в будущем, предельным множеством последовательности (sin n) является отрезок [–1; 1].

Теорему 1 п. 12.1 можно перефразировать так:

Теорема. Если последовательность (x_n) действительных чисел сходится в R, то ее предел будет единственным частичным пределом последовательности (x_n) и, следовательно, ее предельное множество одноэлементно.

Определение 2. Наибольший частичный предел последовательности (x_n) действительных чисел называется верхним пределом (x_n) и обозначается символом .

Примеры. 1) " n Î N x_n = (–1)ⁿ  = 1;

2) " n Î N x_n = n = +¥.

Определение 3. Наименьший частичный предел последовательности (x_n) действительных чисел называется нижним пределом последовательности (x_n) и обозначается: .

Примеры. 1) " n Î N x_n = (–1)ⁿ;  = –1;

2) " n Î N x_n = (–1)ⁿn + n = 0.

Тривиальна следующая теорема:

Теорема. 1) Произвольная последовательность (x_n) действительных чисел сходится в  единственные верхний и нижний пределы.

2) Если последовательность (x_n) действительных чисел сходится в , то  = .

3) Всегда  £ .

 1) Пусть = b₁; = b₂, причем b₁ < b₂, тогда b₁ не верхний предел (смотрите определение 2)…

В R определения 2, 3 используются чаще всего в развернутых формулах:

Определение 2. Действительное число b называется верхним пределом (x_n) действительных чисел, если:

1) " e > 0 $ p Î N, что " n ³ p x_n £ b + e;

2) для бесконечного множества значений n x_n ³ b – e.

Иными словами, b Î R – верхний предел последовательности (x_n), если каково бы ни было e > 0, число индексов n, для которых x_n ³ b + e, конечно, а число индексов n, для которых x_n ³ b – e, бесконечно:

= b Î R Û		1) " e > 0 $ p Î N (("n Î N, n ³ p) Þ xn £ b + e);
		2) " p Î N $ n Î N (n ³ p и xn ³ b – e).

Заметим, что использованный нами способ доказательства леммы Больцано-Вейерштрасса привел к последовательности (x_nk), сходящейся к верхнему пределу.

Определение 3. Действительное число a называется нижним пределом (x_n) действительных чисел, если:

1) " e > 0 $ p Î N "n Î N (n³ p Þ x_n ³ a – e);

2) для бесконечного множества значений n x_n £ a + e.

= a Î R Û		1) " e > 0 $ p Î N "n Î N (n ³ p Þ xn ³ a – e);
		2) " p Î N $ n Î N (n ³ p и xn £ a + e).

11.5 Предостережения.

Понятиями верхнего и нижнего пределов последовательности нужно пользоваться с должной осторожностью.

Будем говорить, что (x_n) действительных чисел ограничена сверху, если $ M Î R "n Î N x_n £ M.

Если (x_n) и (y_n) ограничены сверху, то, вообще говоря, равенство   =  может не выполняться.

Пример.

xn =		1, n = 2k	;	yn =		0, n = 2k
		0, n = 2k+1				1, n = 2k+1

" n Î N  x_n + y_n = 1

 = 1;  = 1,  = 1;  = 2.

Теорема. Если (x_n) – ограниченная сверху последовательность, а (y_n) – сходящаяся в Rпоследовательность, то (x_n + y_n) равен ; то есть  = .