Простейшая форма предельного перехода – предел последовательности

Страницы работы

Содержание работы

§ 9. Простейшая форма предельного перехода – предел последовательности

Предел последовательности – простейшая форма предельного перехода. К нему сводятся и другие формы предельного перехода – предел функции, производная, интеграл.

9.1 Повторение способа задания и геометрическое изображение последовательности. Последовательность действительных чисел называется отображение NÎR  x: N→R. D(x) =N, E(x)Ì  R.  xn=x(n); (x1, x2,…xn,…); (xn).

Способы задания последовательности:

1)  Аналитический (формула n-ого члена);

2)  Рекуррентный (возвратный).

an+1=an+d;  bn+1=bn∙q.

Последовательность Фибоначчи:

x1=x2=1;  "n³2; xn+1=xn+xn-1; (1;1;2;3,5,…)

Числовой прямой называется множество R действительных чисел введенной структурой полного архимедовски упорядоченного поля.

Способы геометрического изображения последовательности:

а) точками числовой прямой R;

б) точками числовой плоскости R2.

(1/n)

а)                              x4     x3     x2                 x1

         

                0                    ¼    ⅓     ½                    1

б)

         

Две последовательности (xn) и (yn) равны тогда и только тогда когда "nÎN xn=yn , но при этом две различные последовательности могут изображаться одним и тем же множеством точек

(1; 2; 3; 4; …) ↔ xn = n

(2; 1; 4; 3; …) ↔ yn = {

9.2. Операции над последовательностями

                   def

1) (xn) ± (yn)=(xn±yn)

2)(xn) ∙ (yn)=(xn · yn)

Соглашение. Вместо выражение “все, за исключением конечного числа” будем говорить “почти все”.

Опр. Пусть (xn) и (yn) – две последовательности, причем почти все yn отличны от нуля. Частным (xn) и (yn) назовем (zn), где

9.3 Ограниченные и неограниченные последовательности.

Опр. Последовательность (xn) д.ч. называется ограниченной (обознач. xn=0(1)), если существует число М ³ 0, такое, что "nÎN|xn| ≤ M.  xn=0(1) Û $ M ³ 0: "nÎN |xn| ≤M

Примеры:  

1) "nÎN   xn=1;

2) "nÎN   xn=1/n;

3) "nÎN   xn=(-1)n.

xn ≠ 0(1) Û "M ³ 0  $nÎN  (|xn| ³ M

Примеры:

4) "nÎN   xn=n;

5) "nÎN   xn=-n;

6) "nÎN   xn=(-1)nn.

Т. О., множество всех последовательностей можно разбить по на ограниченные и неограниченные.

9.4 Классификация последовательностей по сходимости.

О.1: Будем говорить, что последовательность (Xn) д.ч. сходящихся к действительному числу x0, если для любого ε>0 можно указать pÎN такое, что для всех n≥p вып-ся неравенство /

|xn-x0| ≤ ε, и писать: lim xn = x0 или xn→x0, а саму последовательность (xn) называть сходящейся к x0.

Геометрически сходимость в R означает: в произвольную, сколь угодно малую ε-окрестность т. x0 попадают почти все члены (xn)

O.1: lim xn=x0 Û ("ε>0 $pÎN ("nÎN; n³ p) Þ |xn-x0| ≤ ε).

Пр. (1)  lim xn=1

Пр. (2)  lim xn=0

Теорема 1. Если последовательность xn сходится в R, то ее предел единственный.

(частный случай доказан выше, в n)

Пусть lim xn=x0 и lim xn=x0 на основании определения 1

 "ε>0   $p1ÎN ("nÎN; n³p1) Þ |xn-x0|≤ ε/2,

            $p2ÎN ("nÎN; n³p2) Þ |xn-x0|≤ ε/2.

Тогда  "n³p=max{p1;p2}

|x0-x0| = |x0-xn+xn-x0|≤|x0-xn|+|xn-x0|≤ ε/2+ ε/2= ε.

Т.к.  "ε>0  0≤|x0-x0|≤ ε, то |x0-x0|=0 Þ x0=x0

Теорема 2: Если последовательность (xn) сходящихся в R, то она ограничена.

lim xn=x0ÎR. Из определения предела для ε=1 найдется pÎN ("n³p Þ |xn-x0|≤ 1)

Иначе говоря, "n³p x0-1≤xn≤ x0+1

Рассмотрим M=max {|x1|; |x2|;…; |xn-1|; |-1+x0|; |1+x0|}. Тогда "nÎN|xn| ≤ M

Замечание.Обратное утверждение неверно: |xn|=(-1)n

Опр.2: Будем говорить, что последовательность (xn) действительных чисел сходящихся к +, если "εÎR можно указать pÎN такая, что для всех номеров n³p верно неравенство: xn³ ε; и писать lim xn = +.

lim xn = + Û ("εÎR $pÎN ("nÎN;n³p) Þ xn³ ε).

Геометрически сходимость к + означает, что на любой луч (-,ε] попадают почти все члены последовательности.

Опр.3: lim xn = - Û ("εÎR $pÎN ("nÎN;n³p) Þ xn≤ ε).

На любой луч вида (-,ε] попадают почти все члены последовательности.

Сходимость в R.

Сходятся в R

Сходятся к +

Сходятся к -

Теорема 1: Если последовательность сходится в R, то ее предел единственный.

Если последовательность не сходится в R, то ее называютколеблющейся.

(3), (6), (8) – колеблющиеся.

Если ограниченная последовательность колеблется, то ее называют неограниченно колеблющейся.

(3) – ограниченно колеблется.

(6)-(8) – неограниченно колеблется.

Множество последовательно разбивается на 5 классов.

I

Сходится в R

II

Ограниченно колеблется

III

Неограниченно колеблется

IV

Сходится

к +

V

Сходятся к -

Прим. I-II – ограниченные, III-V – неограниченные.

Последовательность (xn) называется колеблющейся, если она не сходится ни к конечному пределу, ни к +, ни к -.

9.6 Заключение.

1. Изменение любого конечного количества членов последовательности не влияет на ее сходимость.

2. Изменение бесконечного числа последовательности может как сказаться, так и не сказаться на ее сходимости.

3. Предел x0ÎR может быть одним из значений принимаемых последовательностью.

4. Предел не обязан быть одним из значений, принимаемых последовательностью.

5. Высказывание:

А) "ε>0  "εÎN ("nÎN, n≥p) Þ |xn-x0|≤ε  равносильно высказываниям:

B) "ε>0  $pÎN("nÎN, n≥p) Þ |xn-x0|<ε ;

C) "ε>0 неравенство |xn-x0|≤ε выполняется для почти всех номеров nÎN;

D) "ε>0 неравенство |xn-x0|>ε выполняется не более, чем для конечного числа номеров nÎN.

Похожие материалы

Информация о работе