Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности (Лабораторная работа № 2), страница 2

1.3. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при известной дисперсии.

Пусть случайные величины и имеют нормальное распределение. Пусть - выборка значений случайной величины , а - выборка значений случайной величины . Допустим, что и известны. Нужно проверить гипотезу о равенстве .

Выберем заранее уровень значимости .

Случайные величины и имеют нормальное распределение с параметрами для и для .

Рассмотрим их разность , которая также имеет нормальное распределение. Найдем его параметры:

Заметим, что если гипотеза справедлива, то

Найдем

Рассмотрим случайную величину

Очевидно, что случайная величина имеет стандартное нормальное распределение (только при условии справедливости ).

Найдем критические значения и , такие, что

Тогда нетрудно получить .

Также нетрудно получить

Отсюда . По этому числу находится значение .

В результате получится интервал для принятия гипотезы .

По выборочным данным находим значение

Если , то принимается. В противном случае отвергается в пользу принятия .

1.4. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при неизвестной дисперсии.

Пусть случайные величины и имеют нормальное распределение. Все их параметры неизвестны, но дисперсии этих случайных величин равны. Нужно проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий по выборкам значений случайной величины и значений случайной величины

Выберем заранее уровень значимости . Построим случайную величину, имеющую конкретное распределение.

В качестве оценки , в качестве .

В качестве оценки , а .

Для оценки используем обе выборочные дисперсии и .

Такая оценка найдена и в качестве оценки выбирается

Известно, что имеет нормальное распределение с параметрами , имеет нормальное распределение с параметрами .

имеет нормальное распределение и , а

Если гипотеза верна, то

Тогда случайная величина имеет стандартное нормальное распределение.

Случайные величины и обе имеют распределение соответственно с и степенями свободы.

Тогда их сумма также имеет распределение с степенями свободы.

Вначале преобразуем выражение для :

По таблице распределения Стьюдента для числа и числа степеней свободы находим число , такое, что . Тогда интервал является областью принятия гипотезы . Затем по данным выборкам вычисляем значение :

Если вычисленное значение , то гипотеза принимается с вероятностью . В обратном случае гипотеза отвергается.

Вероятность отклонения правильной гипотезы равна .

Пример. Используется 2 разных метода изготовления изделия. Чтобы проверить, одинаково ли материалоемки эти методы, собраны статистические данные о расходе сырья для каждого метода. Получили следующие данные:

1-й	2	2,7	2,5	2,9	2,3	2,6
2-й	2,5	3,2	3,5	3,8	3,5	-

Предполагая, что среднеквадратические отклонения обоих методов равны, проверить гипотезу о том, что материалоемкость обоих методов одинакова.

Выберем уровень значимости .

Подсчитаем число степеней свободы:

По таблице распределения Стьюдента для 9 и 0,025 находим

Это значит, что интервал является областью принятия гипотезы .

По выборочным данным найдем:

Считаем

Очевидно, что, поэтому отклоняется. Принимается гипотеза . При этом можно сделать вывод о большей материалоемкости второго метода.

1.5. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий нормальных выборок

Допустим, что случайные величины и обе имеют нормальное распределение. Нужно по выборкам значений для случайной величины и для случайной величины проверить гипотезу о равенстве дисперсий этих распределений.

Выберем заранее уровень значимости .

Найдем точечные оценки неизвестных дисперсий.

Пусть и

По нашей гипотезе , т. е. и могут служить оценками для . Известно, что случайные величины и обе имеют распределение соответственно с и степенями свободы и являются независимыми случайными величинами.