Применение численных методов решения нелинейных уравнений в физических задачах

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПММ(2к1с)-06

ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Цель работы: 1) применение процедур, реализующих численное решение нелинейных уравнений, для решения физических за­дач; 2) совершенствование навыков подготовки физических задач для решения на ЭВМ; 3) совершенствование навыков использования подпрограмм.

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

Сформулировать в соответствии с условием варианта нелинейное уравнение f(x)=0 и преобразовать его к безразмерным параметрам. Выделить область изменения аргумента.

Вывод уравнения и его преобразование изложить в отчете.

Используя программу из предыдущей Л.р. в качестве основы, составить новую программу, в которой выполнить:

-  построить график функции на заданном интервале с достаточно мелким шагом;

-  выбрать по графику начальное приближение корня

-  вычислить корень с точностью 10^-6 и значение функции в найденной точ­ке.

Записать результаты в отчет.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ

Варианты: 1, 5, 9, 13 - метод половинного деления;

Варианты: 2, 6, 10, 14 - метод хорд;

Варианты: 3, 7, 11, 15 - метод Ньютона;

Варианты: 4, 8, 12, 16 - метод итераций;

1) Плотность тока насыщения при термоэлектронной эмиссии из горячего катода в электровакуумном приборе меняется по закону:

,

где энергия активации А=4,23 эВ; коэффициент b=5,3∙10⁵ А/(м²К²)]; к=1.38∙10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана. Найти температуру, при которой плотность тока равна 120 мА/мм².

2) Два положительных электрических заряда величины Q1=4.2∙10^-7 Кл и Q2=8.З∙10^-7 Кл расположены на оси OY в точках (0,L) и (0,-L), где L=0.25 м. Определить, на каком расстоянии R на оси ОХ вели­чина модуля напряженности поля, создаваемого двумя зарядами, бу­дет равна Е=1000 В/м.

3) Баскетболист бросает мяч с начальной скоростью V₀=10,2 м/с. Под каким углом он должен совершить бросок, чтобы попасть в кольцо с расстояния L=8 м по навесной траектории. Высота закреп­ления кольца Н=2.8м, высота баскетболиста h=1.95 м. Ответ выра­зить в радианах и в градусах. Указание: описать движение в проек­циях на координатные оси x(t), y(t)и, исключив время t, найти уравнение траектории движения у(х).

4) Последовательно соединены резистор из металлической про­волоки и полупроводниковый резистор. Температурные зависимости их сопротивлений соответственно определяются формулами ; , где R_a =125 Ом; R_b=5.86∙10^-2 Ом; α=4,18∙10^-3 1/К; W=4.8∙10^-20 Дж; k=1,38∙10^-23 Дж/К. Определить, при какой температуре общее сопро­тивление будет минимальным. Указание: положение минимума можно определить из равенства нулю первой производной, причем она в ок­рестности этой точки должна возрастать (вторая производная >0).

5) Для резисторов, описанных в предыдущей задаче, найти температуру, при которой их параллельное соединение будет иметь максимальное сопротивление. Указание: положение максимума для r(T) можно определить из ра­венства нулю первой производной, причем она в окрестности этой точки должна убывать.

6) Электрон влетает в однородное электрическое поле плоско­го конденсатора с напряженностью Е=880 В/м, имея начальную ско­рость V₀=7.2∙10⁵ м/с, направленную под углом φ к пластинам, длина которых L=10 см. Начальная высота электрона над нижней пласти­ной, заряженной положительно, равна h₀=0.6 см, а при вылете из поля - равна h=0.4 см. Вычислить угол φ. Ответ выразить в ради­анах и в градусах. Указание: описать движение электрона в проек­циях на координатные оси x(t), y(t) и, исключив время t, найти уравнение траектории движения у(х).

7) Снаряд вылетает из пушки под углом α=38° к горизонту с начальной скоростью 345 м/с. Через какой промежуток времени его расстояние (не проекция!) от точки выстрела будет равно 2,5 км. Сопротивление воздуха не учитывать.

8) Электрон, имея скорость 10⁴ м/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В=30 мТл под углом α к направлению ли­ний индукции. Чему равен угол α, если через время t=0.0001 сек расстояние электрона от начальной точки составило 1,2мм.

9) Наклонная плоскость, образующая угол α с плоскостью горизонта, имеет длину L=2 м. Тело, двигаясь равноускоренно со­скользнуло с этой плоскости за время t=2 с. Найти угол α, если коэффициент трения k_тр=0,28.

10) Снаряд, выпущеный из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью V₀=850 м/с, поднялся до высшей точки траектории за время t=38,76 с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональ­ной скорости, определить массу снаряда. (Указание: сформулировать и решить аналитически уравнение движения снаряда).

11) Моторная лодка массой m=420 кг, начинает двигаться по озеру и через время t=18,5 с приобретает скорость V=7,2 м/с. Сила тяги F мотора равна 0,2 кН. Считая силу сопротивления F_сопр движению пропорциональной скорости, определить коэффициент сопротивления. (Указание: сформулировать и решить аналитически уравнение движения лодки).