Некоторые общематематические понятия и обозначения. Логическая символика. Множество. Понятие функции

Раздел. Некоторые общематематические

понятия и обозначения.

§ 2. Логическая символика.

2.1. Связки и скобки. Большинство математических текстов состоит из обычного языка и ряда специальных символов излагаемых теорий. Будем использовать распространенные символы математической логики ù, Ù, Ú, Þ, Û для обозначения соответственно отрицания "не" и связок "и", "или", "влечет", "равносильно".

В сложных высказываниях, состоящих из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту же синтаксическую функцию, что и при записи алгебраических выражений. Для экономии договоримся о "порядке действий". Условимся с этой целью о следующем порядке приоритета символов:

ù, Ù, Ú, Þ, Û.

Тогда выражение ù A Ù B Ú C Þ D следует расшифровывать как (((ù A) Ù B) Ú C) Þ D, а соотношение A Ú B Þ C как (A Ú B) Þ C, а не как A Ú (B Þ C).

Записи A Þ B означающей, что A влечет B (B следует из A), мы будем придавать другую словесную интерпретацию говоря, что В есть необходимый признак и необходимое условие A и, в свою очередь, А – достаточное условие или достаточный признак B.

Таким образом, A Û B можно прочитать любым из следующих способов:

А необходимо и достаточно для В;

А тогда и только тогда, когда В;

А, если и только если В;

А равносильно В.

(А Û B) Û (A Þ B) Ù (B Þ A).

Употребление союза "и" в выражении A Ù B пояснений не требует, но в выражении A Ú B союз "или" не разделительный, то есть A Ú B считают истинным, если истинно хотя бы одно из высказываний А, В.

Если х удовлетворяет уравнению х² – 3х + 2 = 0, то можно написать:

(х² – 3х + 2 = 0) Û (x = 1) Ú (x = 2).

2.2. Замечание о доказательствах. Типичное математическое утверждение имеет вид A Þ B, где А – посылка, а В – заключение. Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки A Þ C₁ Þ C₂ Þ … Þ C_n Þ B следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо является уже доказанным утверждением. В доказательствах мы будем придерживаться классического правила вывода: если А истинно и A Þ B, то В тоже истинно.

При доказательстве от противного мы будем использовать принцип исключения третьего, в силу которого высказывание A Ú ùA (A или не А) считается истинным независимо от конкретного содержания высказывания А. Следовательно, мы одновременно принимаем, что ù (ù A) = A, то есть повторное отрицание высказывания равносильно исходному высказыванию.

2.3. Некоторые специальные обозначения.

◄ ... ► – начало и конец доказательства.

: = – равенство по определению. Определяет левую часть посредством правой части, которая предполагается известной.

§ 3. Множество и элементарные операции

над множествами

3.1. Понятие множества. С конца 19 и начала 20 веков наиболее употребительным языком математики стал язык теории множеств. Георг Кантор – основатель теории множеств – так описал понятие "Множество": "Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли".

Описание Г.Кантора нельзя считать определением, так как оно использует понятия еще более сложные, чем то, что он определяет. Цель – разъяснить понятие, связав его с другим.

Основные предпосылки канторовской (наивной) теории множеств сводятся к следующему.

1. Множество может состоять из любых различимых объектов.

2. Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.

3. Любое свойство однозначно определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.

Если х – объект, Р – свойство, Р(х) – обозначение того, что х обладает свойством Р, то через {x: P(x)} обозначают весь класс объектов, обладающих свойством Р.

Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.

Слова "класс", "семейство", "совокупность", "набор" в наивной теории множеств употребляют как синонимы термина "Множество".

Следующие примеры демонстрируют применение этой терминологии:

Множество букв "а" в слове "я".

Множество жен Адама.

Набор из десяти цифр.

Семейство бобовых.

Совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек.

Семейство множеств.

Множество множеств.

Различие в возможной степени определенности задания множества наводит на мысль, что множество – не такое уж простое и безобидное понятие.

И в самом деле, например, понятие множества всех множеств просто противоречиво.