Изучение явления термоэлектронной эмиссии с помощью вакуумного диода (Лабораторная работа № 6), страница 2

                                                                                           (6.7)

Где     . После умножения обеих частей уравнеия(6.7) на           получаем

                                                                                             (6.8)

Где штрихами обозначено дифференцирогвание по X . Учитывая, что

                               

Запишем уравнение  (6.8) в виде

                                                                                      (6.9)

При интегрировании уравнения (6.9) будем использовать граничные условия

                                                                                   (6.10)

Электростатический потанциал определён с точностью до произвольной постоянной, и ему  можно приписать некоторое значение в люббой точке пространства. Поэтому первое условие из (6.9) является фактически нормировкой потанциала. Что касается второго граничного условия, то оно означает равенство нулю напряжённости электрического поля     на поверхности катода. Справедливрсть этого условия можно обсновать исходя из физических соображений. В противном случае при наличии электрического поля вблизи поверхности катода,  все излучаемые термоэлектроны увлеклись бы этим полем к аноду и электрический ток достигал бы насыщения при любых напряжениях на лампе. Последовательно интегрируя уравнение (6.9) с учотом граничных условий (6.10) получаем

                                                                                            (6.11)

Где   -  анодное напряжение,  - растояние между электродами. Такая зависимость между обьемной плотностью анодного тока и анодным напряжением называется законом Богуславского – Ленгмюра, или  законом трёх вторых.

    Сила анодного тока может быть найдена путём умножения плотности тока (6.11) на площадь анода S. Если электроды имеют форму коаксиальных цилиндров, то зависимость между током и напряжением также подчиняется законну трёх вторых.

                                                                                             (6.12)

Где , R и  – радиус и высота цилиндрического анода, - функция отношения радиусов анода и катода  R/r (при R/r       , например при  R/r=10     =0.98)  В случае большего отношения R/r  формулу(6.12) получить из (6.11) в результате умножения на площадь анода S=2пRl  и  использования приближенных соотношений d=R,   =1.

   В соответствии с законом Богуславского – Ленгмюра график зависимости , построеный на основании экспирементальных данных, должен иметь вид прямой вид прямой линии(рис. 6.4) . Измеряя тангенс угла наклона прямой относительно оси абсцис, можно определить удельный заряд электрона.