Изучение и программирование численных методов интегрирования

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПММ(2к1с)-07

ИЗУЧЕНИЕ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Цель работы: изучение и программирование численных методов интегрирования и получения результата с заданной точностью на основе теоретических оценок погрешности.

1. Квадратурные формулы

Рассмотрим практическую задачу. Какой путь пролетел этот объект по прямолинейной траектории, если результаты измерения его скорости следующие:

ti	vi
0	1.2
0.1	1.8
0.2	2.6
0.3	2.2
0.4	1.7

Таким образом, задача свелась к вычислению определенного интеграла.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где y(x) - некоторая заданная на отрезке [а,b] функция. Известно, что аналитическими методами вычисляется лишь довольно узкий класс интегралов, поэтому в большинстве практически важных задач возни­кает необходимость приближенного вычисления определенного интег­рала с помощью ЭВМ, с заранее заданной точностью ε.

Интеграл для неотрицательных функций f(x) геометрически представляет собой площадь фигуры, сверху ограниченной графиком кривой y=f(x).

Во многих случаях выражение для первообразной не существует, или же подинтегральная функция может быть задана не в виде формулы, а в табличном виде.

В этих случаях подынтегральную функцию заменяют на некоторую интерполирующую функцию, интеграл от которой легко вычисляется в явном виде.

Приближенное вычисление интеграла основано на том, что на малых участках подынтегральная функция заменяется на элементарную функцию с известным поведением, соответствующим поведению инте­грируемой функции, и считается площадь, ограниченная сверху гра­фиком этой новой функции. Если отклонения от исходной функции невелики, то невелика и погрешность такого расчета. Формулы при­ближенного интегрирования различаются между собой выбором прибли­жений.

 

получаем общий вид квадратурной формулы

где A_i – весовые коэффициенты, x_i – узлы квадратурной формулы, R – погрешность квадратурной формулы.

Квадратурные формулы, полученные на основе интерполяционных полиномов Лагранжа, называются формулами Ньютона-Котеса.

Численное интегрирование применяется, если:

1)  подынтегральная функция задана таблицей значений;

2)  определенный интеграл не вычисляется в элементарных функциях;

3)  подинтегральная функция является громоздкой, сложной для аналитического интегрирования.

2. Методы прямоугольников

В методе прямоугольников подинтегральную функцию приближенно описывают с помощью полинома нулевого порядка – константы.

P₀(x) = a = const. Система узлов .

Метод левых прямоугольников

Метод правых прямоугольников

Метод центральных прямоугольников

Погрешность методов правых и левых прямоугольников ~h, поэтому эти методы практически не используются в научных и технических расчетах.

Теоретическая оценка погрешности для формулы центральный прямоугольников имеет вид

;

Таким образом, верхний предел погрешности

3. Квадратурная формула трапеций

Разобьем интервал [а,b] на N (в общем случае неравных) частей точками x₀, x₁, x₂, … x_i, … x_N, причем x₀=a, x_N=b. Обозначим значения подинтегральной функции y=f(x) в этих точках через y₀, y₁, y₂, … y_i, … y_N, то есть, y_i=f(x_i). Отметим, что длина интервала разбиения h=(b-a)/N тем меньше, чем больше N.

Рассмотрим малый участок [x_i-1, x_i], i=1, ... N. При­меним к подинтегральной функции линейную интерполяцию, то есть, заменим график функции y=f(x) на отрезке [x_i-1, x_i] отрезком пря­мой, проходящей через точки (х_i-1, у_i-1) и (х_i, у_i). Площадь получившейся прямоугольной трапеции будет близка к интегралу от заданной функции

Просуммируем все такие приближенные площади

и учтем, что в сумме все значения функции, кроме крайних точек, встречаются дважды. В результате получаем формулу трапеций для расчета определенного интеграла:

Теоретическая оценка погрешности для метода трапеций имеет вид

где M₂ – максимальное значение модуля второй производной (3.6). Таким образом, верхний предел погрешности

Видно, что теоретически метод центральных прямоугольников вдвое точнее метода трапеций.

Приведем алгоритм расчета по методу трапеций:

Описать функцию y(x)

Задать значения a,b,N

Вычислить h=(b-a)/2

Sum=(y(a)+y(b))/2

Для i от 1 до N-1 выполнять

 │ X=a+i*h

 │ Sum=sum+y(x)

I=sum*h

Вывод результата I

4. Метод Симпсона (парабол)

В этом методе также используется разбиение отрезка интегрирования [а,b] на N равных частей, причем N должно быть четным, так как приближенная формула применяется к каждой паре элементар­ных отрезков.

Рассмотрим отрезок [x_i,x_i+2] длины 2h и применим к подинтегральной функции на этом отрезке квадратичную интерполяцию.