Бинарным отношением на множ Х наз любое множ упорядоч пар (х,у)эл-в множ Х и обозн R
Бинарное отнош ~
на множ Х наз отнош эквивал на Х,если оно 1.рефлексивно х~х (х∈Х) 2.симметрично х~у→у~х (х,у∈Х) 3.транзитивно х~у у~z
x~z
Множ-во Сх = {y∈X|x~y} (x∈X) наз классами экивл по отнош тильда ~
Пусть {Аα} разбиение множ Х, положим х~у,если х и у эл-ты одного множ Аα,тогда ~отнош эквив на Х и порожденное им разбиение есть Аα
Класс эквив по отнош ~на множ Х образ новое множ кот наз фактормнож-во Х по ~
Пусть Х- непустое множ-во. Если каждой упоряд паре (х,у) эл-в множ-ва Х поставлен в соотв эл-т х*у∈Х,то говорят на множ-ве Х оперед бинарная агебраич операция*
Сво-ва: ассоциат,коммутативн,наличие нейтрал эл-та,обратимость эл-в
Пара(х,*)наз группоидом –алгебраич пример с одной операцией
Группоид с ассоциат операцией наз полугруппой
Полугруппа с 1 наз моноидом
Группоид наз группой если его операция ассоциатив,в нем сущ нейтрал эл-т,в нем каждый эп-т обратим
Если операция коммутативна то группа наз коммутативной или абелевой
Единственность нейтрального и обратного эл-та
Единица в моноиде ровно одна
Обратный эл-т для эл-та а,(если он сущ) в моноиде ровно 1
Группа бесконечного порядка если число ее эл-в бесконечно
Порядком конечной группы наз число ее эл-в
Пусть а-эл-т группы G.Если все степени эл-та а различны то а наз эл-м бесконечного порядка.В против случае сущ наименьшее полож целое число q,такое что aq=e.Это число наз порядком эл-та
Теормема о поряке эл-та
Если аm=e, то m кратно порядку эл-та а
Подмнож Н группы G наз подгруппой группы G если оно само явл группой относит той операции, кот определена в G
Теорема о подгруппе
Пусть Н-непустое подмнож группы G тогда следующ утвержд равносильны: 1.Н-подгруппа группы G 2.a,b∈H влечет ab∈H a∈H→a-1∈H 3. a,b∈H→ab-1∈H
Группа порожденная одним эл-м наз циклической
Общий вид (бес)конечной циклической группы и ее порядок
Отображение φ:G→G’ наз изоморфизмом если оно биективное и сохраняет операцию φ(a*b)=φ(a)*φ(b)
Теорема об изоморфизме цикл групп
Всякая бескон цикл группа изоморфна группе Z.
Всякая конечная цикл группа порядка m изоморфна группе Zm
Подгруппы цикл групп
Любая подгруппа цикл группы явл цикл группой
В цикл группе порядка m для любого делителя числа d есть единств подгруппа порядка d
Теорема Лагранже и ее следствия
Порядок любой подгруппы конечной группы явл делителем порядка группы
Порядок любого эл-та конечн группы явл делителем порядка группы
Всякая группа простого порядка р явл цикл
Подгруппа Н группы G наз нормальной, если левые и правые смежные классы G по Н совпадают
Пусть G группа и Н ее норм подгруппа,тогда множ G по Н с операц аНвН=(ав)Н (а,в∈Н) образ группу наз факторгруппой G по Н
Отображение φ:G→G’ наз гомоморфизмом если оно сохраняет операцию φ(a*b)=φ(a)*φ(b)
Imφ=φ(G) , Ker φ=φ-1(e’) образ и ядро гомоморф
Теоремы об образе и ядре
Образ гомоморфизма φ:G→G’ явл подгруппой в G’.Ядро этого гомоморф явл норм подгруппой в G
Множ К с 2 операц +сложение и * умножение наз кольцом и обозн (К,+,*)
Подмнож L кольца К наз подкольцом кольца К если оно само явл кольцом относит тех операций кот есть в К
Теорема о подкольце
Непустое множ L явл подкольцом кольца К тттк оно замкнуто относит разности и умножения
Подкольцо L кольца К наз идеалом если К L⊂ L и LК⊂ L
Пусть К –коммутатив кольцо и а∈К.Тогда аК-идеал К
Теорема об идеале с 1
Пусть К-кольцо с 1, L- идеал в К и 1∈L.Тогда L=К
Идеал порожденный одним эл-м наз главным
Теорема о главных идеалах
Пусть К-коммутатив кольцо с 1.Тогда <а>=аК
Нетривиальный идеал кольца К наз максимальным ,если он не содерж ни в каком отличном от него нетрив идеале кольца К
Теорема о макс идеалах
Всякий нетрив идеал кольца К с 1 содерж в макс идеале кольца К
Пусть К кольцо и L идеал К,(L,+)подгруппа аддитив группы (К,+) кольца К.Тогда сущ факторгруппа K/L,ее эл-ты смежные классы
Отображение φ кольца К в кольцо К’ наз гомоморфизмом если оно сохраняет операции φ(а+в)=φ(а)+φ(в);φ(ав)=φ(а)∙φ(в)
Биективный гомоморфизм явл изоморфизмом
Imφ=φ(К) , Ker φ=φ-1(0’) образ и ядро гомоморф колец
Теорема об образе и ядре
Imφ-подкольцо в К’.Если К-кольцо с 1, то и φ(1)-явл 1 в Imφ. Ker φ- идеал в К
Эл-ты а и в кольца К наз делителями нуля если а≠0,в≠0,но ав=0
Коммутат кольцо с 1 ≠0 и без делителей 0 наз целостным
Закон сокращения Коммутат кольцо с 1≠0 явл целостным тттк в нем выполнен закон сокращ (ав=ас,а≠0)→в=с (а,в,с∈К)
Теоремы об обратимых эл-тах кольца
Обратимый эл-т кольца с 1≠0 не явл делителем 0
Все обратимые эл-ты кольца К с 1≠0 образ группу по умнож
Полем наз коммутат кольцо с 1≠0 в кот всякий эл-т а≠0 обратим
Услов при кот кольцо явл полем
Коммутат кольцо с 1≠0явл полем тттк оно не содерж нетривиал идеалов
Теорема о факторкольце по макс идеалу
Пусть К коммут кольцо с 1≠0 и L-макс идеал в К.Тогда факторкольцо K/L явл полем
Теорема о кольце Zm Кольцо Zm явл полем тттк m-простое число
Подполем поля Р наз всякое подкольцо поля Р,кот само явл полем
Если F подполе поля Р, то Р наз расширением поля F
Пусть Р-поле, F-подполе поля Р и а∈P∖F.Тогда наимен подполем поля Р содерж F и а явл расширением поля F , кот наз полученным присоединением F эл-та а и обозн F(а)
Поле Р наз простым если оно не содерж никакого собстен подполя
Теорема о простом поле Всякое поле содержит простое подполе и притом ровно одно
Теорема о простых полях Простыми полями явл Q и Zp(р-простое число)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
