§10. Бесконечно малые последовательности.
10.1 Вступление.Ранее нами рассматривалось понятие сходимости последовательности рациональных чисел к 0, затем к нему было сведено определение сходимости к рациональному числу. Точно также можно поступить и в случае последовательностей действительных чисел.
Определение 1. Будем говорить, что последовательность (xn) д.ч. сходится к 0, если для любого e>0 найдется рÎℕ такое, что для всех n ³ p выполняется неравенство |xn| £ e. Записывать этот факт мы будем так: lim xn = 0 или xn a0. (xn) будем называть бесконечно малой (обозначение: xn=о(1)).
lim xn=0 (xn=o(1))<=> ("e>0 $pÎℕ ("nÎℕ; n ³ p) => |xn| £ e)
Примеры бесконечно малых последовательностей
xn=1/n; xn=1/n2; xn=(-1)n/n; xn=(1+(-1)n)/n;
Определение 2. lim xn= x0ÎR<=> (xn- x0 = o(1)) Из теоремы 2 п. 9-5 следует, что любая бесконечно малая последовательность является ограниченной.
10.2 Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
Теорема 1. Сумма (разность) двух б.м. последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность . (xn=o(1) и yn=o(1))=> (xn ± yn)=o(1). Обратное неверно (пример xn=1 и yn=-1).
o(1) + o(1) = o(1)
< По условию (lim xn= 0 и lim yn= 0)
"e>0 $p1ÎN ("nÎℕ; n ³ p1) => |xn- x0| £ e/2,
$p2ÎN ("nÎℕ; n ³ p2) => |xn- x0’| £ e/2.
Тогда "n ³ p = max {p1, p2}
| xn ± yn| = | xn | + | yn| £ e/2 +e/2 = e >
Следствие. Если последовательности (xn) и (yn) сходятся в R, то и их суммы сходятся в R, причем имеет место равенство:
lim xn ± lim yn = lim (xn ± yn)
< По условию
lim xn= x0ÎR <=> xn- x0 = o(1);
lim yn= x0Î R <=> yn- y0 = o(1).
Тогда (xn ± yn) - (x0 ± y0) = (xn - x0)±(yn - y0)= o(1)+o(1)=(по Т.1) o(1) <=>
<=> lim (xn ± yn)= x0 - y0 >
В обыденной речи это следствие выражают словами: «Предел суммы равен сумме пределов».
Теорема 1. Произведение ограниченной последовательности на б. малую является бесконечно малой последовательностью. (xn=O(1) и yn=o(1))=> (xnyn)=o(1). Обратное неверно (пример xn=n и yn=1/n2).
O(1) · o(1) = o(1)
< xn=O(1[LVV1] [LVV2] [LVV3] [LVV4] ) <=> $M > 0 ("nÎℕ |xn| £ M)
lim yn=0 <=> ("e>0 $pÎℕ ("nÎℕ,n ³ p) => |yn| £ e/M)
Тогда "n ³ p | xn ·yn| = |xn| · |yn| £ (M · e)/M = e. >
Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью. (xn=o(1) и yn=o(1))=> (xnyn)=o(1). Обратное неверно (пример xn=1 и yn=1/n2).
o(1) · o(1) = o(1)
Следствие 2. Если последовательности (xn) и (yn) сходятся в R, то и их произведение сходятся в R, причем имеет место равенство:
lim xn · lim yn = lim (xn · yn)
< lim xn= x0Î R <=> xn- x0 = o(1) <=> xn = x0+ o(1)
lim yn= y0Î R <=> yn- y0 = o(1) <=> yn = y0+ o(1)
xn · yn = (x0+ o(1))·( y0+ o(1)) = x0 · y0+ y0 · o(1) + o(1)· o(1)=
= x0 · y0 + o(1)· o(1) + o(1) = (по T.1)= x0 · y0 +o(1).
так как xn · yn = x0 · y0 +o(1), то в силу опр 2. lim (xn · yn)= x0 · y0 >
(lim xn= x0Î R, и lim yn= y0Î R) => lim (xn · yn)= x0 · y0 Î R.
Обратное неверно (пример xn= (–1)n и yn=1/n2).
10.3 Теорема о пределе частного двух сходящихся в R последовательностей.
Лемма 1. Если lim yn= y0¹0, то для почти всех nÎℕ |yn| ³ |y0|/2.
< т.к. lim yn= y0, то положив e=|y0|/2>0, найдем номер pÎℕ такой, что
"n ³ p |yn- y0| £ |y0|/2. Тогда |y0|/2 ³ |yn- y0| ³ ||yn| - | y0|| или |y0|/2 ³ |yn| - | y0|, откуда
|yn|³ |y0| - | y0|/2 = | y0|/2 >
Из леммы 1 вытекает, что если lim xn¹0, то почти все члены последовательности отличны от 0.
Лемма 2. Если lim yn= y0¹0, то lim 1/yn= 1/y0
< в силу леммы 1 $pÎℕ ("n ³ p |yn| ³ |y0|/2. Т.к. y0 фиксировано, то 1/(yny0) = O(1).
1/(yn) - 1/(y0)= (- yn+ y0)/ (yny0) = (1/ (yny0)) × (- yn+ y0) = O(1) × o(1) =(по т.2)=o(1).
Итак, 1/(yn) - 1/(y0)= o(1) <=> lim 1/yn= 1/y0 >
Теорема. Если последовательности (xn) и (yn) сходятся в R, и lim yn¹0, то и их частное сходится в R, причем справедливо равенство: Lim xn / Lim yn= Lim (xn / yn).
< теорема вытекает из следствия 2 п.10.2 и леммы 2. В самом деле xn / yn = xn × (1 / yn) => Lim (xn / yn)= Lim xn × (1/Lim yn) >
10.4 Предельный переход в равенстве и неравенстве.
Определение 1. Пополненной прямой R (с чертой) называется объединение множества ℝ действительных чисел и двухэлементного множества {-¥,+¥} символов отрицательной и положительной бесконечности.
Определение 2. Будем говорить что два элемента a и b из R (с чертой) удовлетворяют неравенству
a £ b,
1) если a Î R, b Î R, и a £ b
2) если а = -¥ и b ÎR (с чертой)
3) если b = +¥ и a ÎR (с чертой)
О3. Будем говорить что два элемента a и b из R (с чертой) удовлетворяют неравенству
a < b,
1) если a Î R, b Î R, и a < b
2) если а = -¥ и (b ÎR или b = +¥)
3) если b = +¥ и (a ÎR или а = -¥).
Итак, xÎR <=> -¥<x<+¥
Теорема 1. Если последовательности (xn) и (yn) сходятся в R (с чертой), и для почти всех номеров n xn = yn , то lim yn= lim xn
< Это очевидно >
Теорема 2.Если последовательности (xn) и (yn) сходятся в R (с чертой), и для почти всех номеров n xn £ yn (xn < yn), то lim yn£ lim xn (lim yn£ lim xn).
! при предельном переходе знак строгого неравенства не сохраняется.
Пример. 1/n >0, но lim(1/n) ³ 0
< Для случая, когда хотя бы один из пределов бесконечен, теорема очевидна.
Пусть lim xn = x0ÎR и lim yn = y0ÎR, но x0>y0.
Возьмем произвольное r между x0 и y0, тогда
для e1=1/2 × (x0 - r)>0 $p1ÎN ("nÎℕ; n ³ p1) => x0-e1£ xn£ x0+e1
и для e2=1/2 × (r - y0)>0 $p2ÎN ("nÎℕ; n ³ p2) => y0-e2£ yn£ y0+e2
отсюда следует, что xn ³ x0-e1= x0 - 1/2 × (x0 - r) = 1/2 × (x0 + r)> 1/2 × (r + r)=r
и yn £ y0+e2= y0 + 1/2 × (r - y0) = 1/2 × (y0 + r) < r.
Следовательно, для почти всех n yn<xn, хотя по условию yn£xn (!?) >
10.5 Принцип двустороннего ограничения.
Теорема. Если для почти всех n yn£xn£zn и последовательности (xn) и (zn) стремятся к общему пределу в R (с чертой), то и последовательность (yn) имеет тот же предел в R (с чертой).
<
1) lim xn= lim zn=±¥ теорема очевидна
2) Если lim xn= с ÎR и lim zn= c Î R, то
"e>0 $p1ÎN (("nÎℕ; n ³ p1) => с-e£ xn£ с+e) и $p2ÎN (("nÎℕ; n ³ p2) => с-e£ zn£ с+e)
Тогда Тогда "n ³ p = max {p1, p2}. с-e£ xn£ yn£ zn£ с+e => с-e£ yn£ с+e. Это означает, что lim yn= с >
[LVV1] Так будет правильно
[LVV2]
[LVV3]
[LVV4] В данном месте я бы сделал по другому
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.