Бесконечно малые и бесконечно большие функции

§ 18. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

18.1. Бесконечно малые функции.

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = x₀ (или при x ®x₀), если lim f(x) = 0.

                                                                                                                   x ® x₀

Аналогично бесконечно малые определяются при x ® ¥, при x ® –¥, при x ® +¥; x ® x₀+, x ® x₀-.

На «языке e - d»:

f(x) – бесконечно малая при x ® x₀, если "e > 0 $ d > 0 "x Î x (0 < |x – x₀| < d Þ |f(x)| < e)

На языке последовательностей:

f(x) – бесконечно малая при x ®x₀, если "(x_n), x_n ® x₀ последовательности (f(x_n)) является бесконечно малой последовательностью, то есть lim f(x_n) = 0.

                                                                                                                n® ¥

Теорема 18.1 Для выполнения равенства lim f(x) = A необходимо и достаточно, чтобы

                                                                                                                         x ® x₀

функция j(x) = f(x) – A была бесконечно малой при x ® x₀.

 Доказывается просто

Говорят, что f(x) в окрестности точки x = x₀ отлична от своего предела A на бесконечно малую функцию.

Бесконечно малые функции, как и бесконечно малые последовательности, обладают следующими свойствами:

Теорема 18.2 Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x ® x₀, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x ® x₀.

18.2. Бесконечно большие функции.

Определение 2. f(x) – бесконечно большая функция (или просто бесконечно большая) в точке x = x₀ (или при x ® x₀), если " e > 0 $ d > 0 такое, что "x Î x, x ¹ x₀, удовлетворяющих неравенству |x –x₀| < d, выполняется неравенство |f(x)| > e. Пишут: lim f(x) = ¥.

                                                                                                                                                                            x ® x₀

Если же выполняется неравенство f(x) > e (f(x) < –e), пишут lim f(x) = +¥ (lim = –¥).

                                                                                                                                                                       x ® x₀                                     x ® x₀

Говорят, что f(x) имеет в точке x₀ бесконечный предел, равный +¥ (–¥). Аналогично определяется односторонние пределы и пределы при x ® ¥ (x ® +¥, x ® –¥).

Оказывается, что функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой и наоборот. (Доказать самостоятельно)

18.3. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Сумма, разность, произведение бесконечно малых функций есть функции бесконечно малые. А о частном бесконечно малых заранее ничего определенного сказать нельзя:

1. a(x) = x; b(x) = 2x.               lim = lim =.

2. a(x) = x; b(x) = x².

lim = lim = lim = ¥.        lim = 0.

Правила сравнения бесконечно малых функций:

Пусть при x ® x₀ функции a(x) и b(x) являются бесконечно малыми, тогда:

1. Если lim  = 0, то a(x) – бесконечно малая более высокого порядка, чем b(x):

a(x) = o(b(x)).

2. Если lim  = A ¹ 0, то a и b – бесконечно малые одного порядка:

a(x) = O(b(x)).

3. Если lim  = 1, то a и b – эквивалентные бесконечно малые a ~ b.

4. Если lim  = A ¹ 0, то a(x) – бесконечно малая n-ого порядка относительно b(x).

Аналогичные определения вводятся и в случае односторонних пределов при x ® ¥, x ® +¥, x ® –¥.

q  1) sin x ~ x при x ® 0, так как lim  = 1.

2) sin 3x и sin 2x – бесконечно малые одного порядка при x ® 0:

.

3) a(x) = 1 – cos x Þ a(x) = O(x²).

 a(x) = 1 – cos x = 2sin² Þ lim = lim=  ¹ 0.

Теорема 18.3 Пусть a(x), a₁(x), b(x)  и b₁(x) – бесконечно малые функции при x ® x₀, причем a(x) ~ a₁(x) при x ® x₀, b(x) ~ b₁(x) при x ® x₀ и $ lim . Тогда $ lim  и .

  

q  Найти lim .

Решение. Так как sin 5x ~ 5x, а x +x³ ~x при x ® 0, то .

Для бесконечно больших функций имеются аналогичные правила сравнения.