Энергия электростатического поля. Энергия системы точечных зарядов, страница 4

              Модель точечного элементарного заряда  оказывается мало приемлемой из-за того, что в этом случае заряду приходится приписывать бесконечно большую энергию. Действительно, в случае равномерного распределения заряда по поверхности сферы его энергия описывается выражением (6.24), стремящемся к бесконечности при уменьшении радиуса сферы. Использование  других модельных сферически - симметричных распределений зарядов (например, равномерного распределения по объему шара) приводит к другим, по сравнению с (24), численным коэффициентам, но не устраняет существа проблемы.

              Бесконечно большая энергия элементарного заряда могла бы быть оставлена в теории (начало отсчета энергии, вообще говоря, произвольно), если бы полное число зарядов оставалось неизменным и не существовало процессов из рождения и уничтожения. В силу того, что такие процессы существуют и сопровождаются поглощением или выделением вполне конечных порций энергии, приписывать несущим электрический заряд элементарным частицам бесконечно большую энергию недопустимо.

              Оценку радиуса электрона, например, можно сделать, приравняв его энергию покоя к  электростатической. Получаемая таким образом величина носит название классического радиуса электрона (6.25).

              Проблема существования точечного заряда до сих пор окончательно не решена в рамках не только классической, но и квантовой электродинамики.

Задачи для самостоятельного решения

6.1.  Доказать, что матрица емкостных коэффициентов симметрична относительно диагонали (c_ik=c_ki). Указание: рассмотреть изменение энергии системы заряженных проводников, обусловленное некоторым увеличением заряда одного из них.

6.2.   Рассчитать емкость металлического шара радиусом R, окруженного сферическим слоем диэлектрика с проницаемостью e, внутренний и внешний радиусы которого R и 2R соответственно.

6.3.   Рассчитать электростатическую энергию, запасенную внутри и вне равномерно заряженного по объему зарядом Q шара радиуса R.

6.4.   Рассчитать емкости сферического конденсатора (две концентрические проводящие сферы радиусами R₁ и R₂, промежуток между которыми заполнен однородным изотропным диэлектриком с известной диэлектрической проницаемостью.

6.5.   Рассчитать емкости цилиндрического конденсатора (два соосно расположенных цилиндра одинаковой длины h и известных радиусов  R₁ и R₂).

6.6.   Показать, что в случаях сферического и цилиндрического конденсаторов расчеты энергии через электроемкость и через объемную плотность энергии приводят к одинаковым результатам.

6.7.   Рассчитать емкость плоского конденсатора известных размеров, проницаемость диэлектрика внутри которого меняется по линейному закону от e₁  до e₂  а) по толщине конденсатора, б) вдоль пластин.

6.8. Нижние части пластин плоского конденсатора заданных размеров погружают в жидкий диэлектрик с проницаемостью e и плотностью r. На какую высоту поднимется диэлектрик в конденсатора, если он был присоединен к источнику напряжения U, а перед погружением в диэлектрик а) был отключен от источника, б) не отключался от источника. Указание: если возникнут сложности с решением алгебраических уравнений, можно ограничиться только записью последних.