Описание электромагнитных волн. Волновое уравнение для процесса в однородном изотропном диэлектрике. Плоские волны. Плотность электромагнитной энергии. Поток энергии. Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд, страница 5

                                    ,                     (10.11)

где                         причем  и . Формулу (10.11) можно преобразовать к виду

                        .

Множитель  соответствует плоской монохроматической волне со средними значениями частоты и волнового числа (в радиотехнике такая волна называется несущей). Функция  описывает медленно изменяющуюся в пространстве и во времени амплитуду этой волны (огибающую). Частота изменения этой амплитуды . В результате суперпозиции двух волн близкой частоты возникает периодическое, медленное изменение амплитуды  и быстрые осцилляции (биение) (Рис. 10.2). Выясним закономерности перемещения фиксированного значения амплитуды  или . Так как  и  малы, то получаем

                                               

                                               

Это означает, что амплитуда биений (огибающая) перемещается со скоростью

                                                ,

которая называется групповой скоростью. Она совпадает с фазовой скоростью только при отсутствии дисперсии, когда имеется линейная зависимость  от  (фазовая скорость постоянна). Конечно, величине  можно придать физический смысл скорости только в том случае, если эта производная вещественная (допустимо приближенное понимание групповой скорости при слабой комплексности). В случае комплексности этой производной, эволюция поля  происходит более сложно, имеет место «деформация»  (не происходит перемещения фиксированного вида профиля ) и это не позволяет ввести понятие огибающей и понятие скорости перемещения огибающей – групповой скорости. Иногда, чисто формально в такой ситуации групповой скоростью называют , однако эта величина не является скоростью перемещения чего - либо (возможны ситуации ).

            4). Рассмотрим более общий случай квазимонохроиатической волны (волновой пакет или цуг волн), когда в суперпозиции участвуют не две волны, а непрерывная совокупность плоских монохроматических волн с узким интервалом частот и волновых векторов:

            ,            .

Это позволяет использовать приближенное представление для (10.10)

                        .

Такая ситуация соответствует том, что функция  имеет резкий максимум при . Интегрирование в интервалах  и дает пренебрежимо малый вклад. Используем приближение при выполнении условия . В результате, получим

                                    ,

                                                                  (10.12)

где

                                    ,

где  - значение групповой скорости при , . Как и в рассматриваемом в пункте. В случае , экспоненциальный множитель в (10.12) соответствует плоской монохроматической волне со средними значениями частоты  и волнового числа . Величина  описывает огибающую, которая медленно изменяется в пространстве (на расстояниях порядка ) и во времени (с временным масштабом порядка ). Огибающая – функция одного переменного . Это означает, что огибающая переносится в пространстве с постоянной скоростью, равной групповой скорости для значения . Волновой пакет (квазимонохромат) движется как единое целое, без изменения формы. Конечно, этот вывод приближенный, так как в фурье – представлении использовались только два члена в разложении

.

Оценим роль отброшенного (третьего) слагаемого, приняв во внимание то, что оно умножается в показателе экспоненты на время . Условие пренебрежения имеет вид

                                                ,                              (10.13)

за время  пакет проходит расстояние  и условие (10.13) можно представить в виде  - пространственный масштаб изменения волнового пакета. На расстояниях больших  волновой пакет претерпевает «искажение» за счет дисперсии, он «расплывается» и здесь понятие групповой скорости теряет смысл. Выше отмечалось, что понятие групповой скорости так же теряет смысл при комплексности . Это может быть при наличии диссипации и при распространении волны в «области непрозрачности» (в этой области производная  является мнимой величиной).

            Под волновым пакетом понимаем суперпозицию волн с небольшим разбросом волновых векторов. Выясним, какую область в пространстве занимает такой волновой пакет. Рассмотрим простейший пример

                                    ,