Описание линейной дискретной системы в частотной области

Описание ЛДС в частотной области

Была введена ПФ как Z-преобразование от ИХ

                                                                                                           

Покажем, что в случае  ПФ равна отношению гармонического дискретного сигнала на выходе к гармоническому сигналу на входе. Т.е. сужение ПФ на единичную окружность дает нам ЧХ дискретной системы.

                                                                                     

                                                                                 

Частотная характеристика ЛДС определяется как

                                                                                                           

Значит гармонический дискретный сигнал, прошедший через ЛДС, есть гармонический сигнал с той же частотой. Измениться может только его амплитуда и фаза.

                                                             

Свойства ЧХ ЛДС.

1. ЧХ, АЧХ и ФЧХ – непрерывные, периодические функции частоты с периодом .
2. Если коэффициенты ПФ вещественные, то АЧХ – четная, а ФЧХ – нечетная функция частоты. Доказательство.

                                                                           

                                       

                                                                           

Учитывая общее выражение для ПФ

                                                                            

получим общее выражение для ЧХ

                                                               

Т.к. ПФ есть дробно-рациональная функция, то согласно основной теореме алгебры она всегда может быть представлена в виде

                                                                   

Т.о., ЧХ с точностью до константы полностью определяется своими нулями и полюсами.

                                                                                 

АЧХ и ФЧХ ЛДС имеют вид

                                                           

                                                                          

Пример. (Вас.78)

                                                                          

                    

Всепропускающие цепи.

Рассмотрим  устойчивую ЛДС с одним нулем и полюсом, определяемые выражениями

                                                                           

Ее ЧХ

                                                                          

                                                                                           

АЧХ и ФЧХ этой цепи приведены на  рис.

ЛДС с линейной ФЧХ.

Линейность ФЧХ обеспечивает сохранение формы сигнала, если его спектр укладывается в полосу пропускания фильтра. Рассмотрим цепь с четным числом отсчетов импульсной характеристики, которая четно-симметрична относительно своей середины (КИХ-система).

                                                                                                             

Запишем ЧХ в виде

                                                                                                      

Рассматривая слагаемые во второй сумме в обратном порядке

                                                                                  

С учетом условия симметрии отсчетов

                                                                                                   

Наклон ФЧХ определяется номером среднего отсчета.

Каузальные БИХ-цепи с линейной АЧХ не существуют. Фильтры Бесселя имеют приближенно линейную ФЧХ.